Números complejos

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Teoría

Ejercicios resueltos

Radicales.

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Definición de un radical y sus propiedades.

Producto de radicales.

División de radicales.

Potencia y raíz de un radical.

Suma de radicales.

Racionalización.

Ejercicios resueltos de radicales.

Números irracionales.

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Introducción a los números irracionales.

Aproximación de un número irracional.

Representación gráfica de un número irracional.

Logaritmos.

Definición de logaritmos y propiedades.

Ejercicios resueltos de logaritmos.

Probabilidad de cambio de tiempo

Supóngase que el tiempo (climatológico) solo se puede clasificar como bueno o malo y que, en cierta zona, la probabilidad de que se produzca, de un día para otro, un cambio de tiempo es de 0,3.

a) Si la probabilidad de que haga buen tiempo en esa zona el día 11 de junio es de 0,4 ¿qué probabilidad hay de que el 12 de junio haga buen tiempo?

b) Si el día 12 hace buen tiempo, halla la probabilidad de que el día 11 haya hecho mal tiempo.

Solución:

Hacemos el diagrama de árbol asociado al problema, teniendo en cuenta que si la probabilidad de que se produzca, de un día para otro, un cambio de tiempo es de 0,3, la probabilidad de que el tiempo no cambie es 0,7:

a) En el árbol se observa que las dos ramas en las que el tiempo es bueno el día 12 son la primera y la tercera, por lo que multiplicando en cada una de esas ramas las probabilidades que aparecen en ellas, deducimos que la probabilidad de que el día 12 el tiempo sea bueno es:

P(“el día 12 sea bueno”) = 0,4 · 0,7 + 0,6 · 0,3 = 0,46

b) Las dos ramas en las que el tiempo es bueno el día 12 son la primera y la tercera, pero solo en la tercera el tiempo en el día 11 es malo. Por tanto, la probabilidad de que el día 11 haya hecho mal tiempo si el día 12 es bueno es:

P(“el día 11 es malo”/“el día 12 sea bueno”) =

Probabilidad en las elecciones

A unas elecciones se presentan seis candidatos: A, B, C, D, E y F. Se estima que B, C Y D tienen la misma posibilidad de ganar, que es la mitad de la probabilidad de que gane A, y que E y F tienen la misma probabilidad de ganar, que es el triple de la probabilidad de que gane A. Calcula:

a) La probabilidad de ganar, de cada candidato.

b) La probabilidad de que gane A o F.

c) La probabilidad de que no gane E.

Solución:

a) Llamamos p (B) = x, y tenemos: p (B) = p (C) = p (D) = x.

  Como A tiene una probabilidad de ganar doble que B, se cumple que      p (A) = 2x.

   Como E y F tienen triple probabilidad que A: p (E) = p (F) = 3x.

   Al ser la suma de todas las probabilidades igual a uno, tenemos:

  Luego:

p (A) =  2/17, p (B) = p (C) = p (D) = 1/17 y p (E) = p (F) = 6/17

b) Como A y F son sucesos incompatibles, la intersección de ambos es      el suceso imposible, cuya probabilidad es cero, y, por tanto:

   Así, la probabilidad de que gane A o F es 8/17.

c) Si el suceso F es {“gana el candidato F”}, lo que queremos hallar    es la probabilidad de su contrario, F ^c. Así:

P (F ^c) = 1 – P(F) = 1 – 6/17 = 11/17

Probabilidad en un dado

En un dado trucado de seis caras numeradas, se verifica que:

P (1) = P (2) = P (6) = r 

P (3) = P (4) = P (5) = s

Si la probabilidad de que al lanzar el dado salga una puntuación mayor que 3 es de 3/5, encuentra los valores de r y s.

Solución:

Como la probabilidad de que al lanzar el dado salga una puntuación mayor que 3 es 3/5, se cumple que:

P (4) + P (5) + P (6) = 3/5

s + s + r = 3/5

2s + r = 3/5

Por otro lado, P (1) + P (2) + P (3)+ P (4) + P (5) + P (6) = 1; es decir, que 3r + 3s = 1.

Con las dos igualdades obtenidas de las condiciones anteriores, se forma un sistema de ecuaciones que resolvemos:

Luego r = 1/15 y, sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, se deduce que s = 4/15.

Máxima rentabilidad

Una entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad que se invierta, x, en miles de euros, por medio de la siguiente expresión:

R(x) = - 0,001 x² + 0,5 x + 2,5

a)¿Qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan?

b)¿Qué rentabilidad obtendría al invertir dicha cantidad?

Solución:

a)Le conviene invertir la cantidad de dinero que le proporcione una rentabilidad máxima y, por tanto, debemos buscar el máximo de R(x). Para ello, utilizamos las derivadas de la función.

R´(x) = - 0,002 x + 0,5

R´´(x) = - 0,002, para cualquier valor de x

Igualamos a cero la derivada y resolvemos la ecuación que se obtiene:

R´(x) = - 0,002 x + 0,5 = 0; - 0,002 x = - 0,5; x = 250

Sustituimos este valor de x en la derivada segunda de la función:

R´´(250) = - 0,002 < 0, lo que nos asegura que en x = 250 la función alcanza el máximo.

Por tanto, la cantidad que le conviene invertir es 250.000 €.

b)La rentabilidad que obtendría en ese caso es el valor de la función R(x) en x = 250:

R(250) = - 0,001· 250² + 0,5·250 + 2,5 = 65

Es decir, que la rentabilidad que obtendría con dicha inversión es de 65.000 €.