Se sabe que la función f(x) = (x + a)(x2 –
4), donde a es un número real, tiene un mínimo y un máximo relativo.
Si el máximo relativo se alcanza en x = -1/3,
encuentra la abscisa del punto en el que se alcanza el mínimo relativo.
Solución:
La
derivada de f(x) es:
f´(x)
= (x2 – 4)+(x + a)·2x = x2 – 4 + 2x2 + 2ax =
3x2 + 2ax – 4
Como en x = - 1/3 se alcanza un máximo relativo,
debe cumplirse la condición de que f´(- 1/3) = 0. Así, se tiene que:
3(-1/3)2 + 2a(-1/3)-
4 = 0; 1/3 – 2a/3 – 4 = 0;
(1 – 2a)/3 = 4; 1 – 2a = 12;
a = -11/2
Al ser a = -11/2, resulta que f´(x) = 3x2
– 11x – 4, y esta función derivada se anula en los puntos que son solución de
la siguiente ecuación:
De esta manera, los extremos relativos se alcanzan
en los puntos de abscisa x1 = 4 y x2 = -1/3, y, como en x2
hay un máximo, el mínimo relativo se
alcanza en x = 4.
