Problema 109

Tenemos cuatro bolas, una azul, una blanca, una verde y una roja, numeradas. Sabemos que el número de la bola blanca es el promedio de los números de las bolas azul y verde. También, que el número de la verde es el promedio de los de la blanca y la roja. 

Si el número de la bola azul es 1 y el de la roja es 25, ¿qué número lleva la bola verde?

Solución:

Si llamamos A, B, V y R a los números marcados en las bolas azul, blanca, verde y roja, respectivamente, los promedios indicados podemos expresarlos en la forma siguiente:

B = (A + V) /2

V = (B + R) /2

Quitando los denominadores y simplificando en las dos expresiones anteriores, tenemos que:  

  

B = (1 + V) /2; 2B = V + 1; V = 2B -1

V = (B + 25) /2; 2V = B + 25

Sustituimos la expresión de V en la segunda igualdad:

2(2B -1) = B + 25;  4B – 2 = B + 25;  3B = 27; B = 9

Luego, se tiene que V = 2B -1 = 2·9 – 1 = 17. Es decir, el número de la bola verde es el 17.

Problema 31

Tenemos 81 bolas semejantes, de forma que una de ellas pesa más que las demás y no sabemos cuál es. ¿Podemos encontrarla mediante cuatro pesadas en una balanza sin utilizar pesas?

Solución:

Las separamos en 3 grupos de 27 bolas y comparamos dos de ellos en la balanza. Si pesan lo mismo, estará en el grupo que no hemos pesado. Si un grupo pesa más, en ese grupo estará la bola buscada. 

Cogemos el grupo en el que está la bola más pesada y lo dividimos en 3 grupos de 9 bolas y repetimos la operación, localizando el grupo de 9 bolas en el que está la bola buscada. 

Cogemos ese grupo de 9 bolas más pesado y lo dividimos en tres grupos de 3 bolas y, de nuevo, repetimos la operación detectando el grupo de tres bolas en el que está la más pesada. 

Cogemos ese grupo de tres bolas más pesado y repetimos la operación, detectando con la cuarta pesada la bola que más pesa.