Piensa un número de tres cifras y escríbelo de
nuevo a continuación, formando un número de seis dígitos. Dicho número será
divisible por 13, por 11 y por 7. Demuestra porqué es así.
Solución:
Si abc es el número
inicial, el de seis dígitos será abcabc. Hacemos la descomposición polinómica
de este número:
abcabc = a·105 + b·104 + c·103
+ a·102 + b·10 + c =
= a·(105 + 102) + b·(104
+ 10) + c·(103 + 1) =
= a·102·(103 + 1) + b·10·(103
+ 1) + c·(103 + 1) =
= (a·102 + b·10 + c) · (103 + 1)
=
=
abc ·(103 + 1) = abc · 1001
Pero el número 1001 se
descompone en factores como 1001 = 7·11·13, de donde se deduce que abcabc =
7·11·13·abc
Así, abcabc es
divisible por 7, por 11 y por 13.
