Área

Sabiendo que la superficie del cuadrado es 144 m², halla el área de la región coloreada de verde.

Solución:

Como la superficie del cuadrado es 144 m², su lado mide 12 m.

En la mitad superior del cuadrado hay dos cuadrantes de un círculo de radio 12/2 = 6 m o, lo que es lo mismo, una región rosa cuya área equivale a la mitad de la de un círculo de radio 6 m.

La región coloreada en rosa en la mitad inferior del cuadrado está compuesta por un círculo de radio 12/4 = 3 m y por dos semicírculos de radio 3 m; es decir que la región rosa de la parte inferior tiene un área equivalente a la de dos círculos de radio 3 m.

La región verde tendrá como superficie la que se obtiene al restar a la del cuadrado las áreas mencionadas anteriormente. Es decir:

Por tanto:

Problema 103

Sabiendo que el radio del semicírculo mayor mide 12 cm, halla el radio del círculo menor. 

Solución:

Consideramos el centro del círculo menor, O, y los centros de los semicírculos pequeños, M y N, y los unimos, obteniendo un triángulo isósceles, tal y como se muestra en la figura siguiente:

La base de dicho triángulo coincide con el diámetro de los semicírculos pequeños, es decir, mide 12 cm.

Si llamamos r al radio del círculo menor, la altura de dicho triángulo es 12 – r, pues el radio del semicírculo mayor mide 12 cm. Y cada uno de los lados iguales del triángulo mide r + 6, ya que el radio de los semicírculos pequeños mide 6 cm.

Utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

(12 – r)² + 6² = (r + 6)²

144 + r² – 24 r + 36 = r² + 36 + 12 r

144 = 36 r

r = 144 / 36 = 4

Así, el radio del círculo menor mide 4 cm.

Combinación de áreas

Calcula la superficie de la figura siguiente, sabiendo que su altura es  15 cm y que los diámetros de las semicircunferencias miden 12 cm y 8 cm, respectivamente.

Solución:

Si la altura total de la figura es 15 cm, como los radios de las semicircunferencias miden 6 cm y 4 cm, la altura del trapecio mide 15 – 6 – 4 = 5 cm.

Las bases del trapecio coinciden con los diámetros de las semicircunferencias.

Por tanto, tenemos que:

Así, el área de la figura es: