Problema 155

Calcula el valor de m para que se cumpla la siguiente igualdad:

Solución:

El producto que aparece en la igualdad es:

Simplificando los factores comunes del numerador y del denominador, resulta que el producto es:

Por tanto para que se cumpla la igualdad mencionada en el enunciado, ha de verificarse que:

Así, la igualdad se cumple para el valor m = 39.

Multiplicación de polinomios.

Multiplicación de un polinomio por un número real.

Dado un polinomio cualquiera P (x), para multiplicarlo por un número real m, se multiplica cada uno de los coeficientes del polinomio por m. Es decir:

m· P (x) = m· (a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ) =

= m·a₀ + m·a₁ x + m·a₂ x² + … + m·a_n xⁿ

Ejemplos:

a)3·(5 – 2 x + 7 x³ – x⁵) = 15 – 6 x + 21 x³ – 3 x⁵

b)- 6·(- 2 + 5 x² – 4 x³) = 12 - 30 x² + 24 x³

c)(2/3)·( 6 x + 9 x² – 3 x³) = 4 x + 6 x² – 2 x³

Multiplicación de un monomio por un polinomio.

Para multiplicar un monomio M (x) = a_m x^m por un polinomio cualquiera P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se multiplica el monomio M (x) por cada uno de los monomios que componen el polinomio P (x), utilizando las propiedades de las potencias. Es decir:

M (x) · P (x) = (a_m x^m) · (a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ) =

= a_m · a₀ x^m + a_m · a₁ x^{m + 1} + a_m · a₂ x^{m + 2} + … + a_m · a_n x^{m + n}

Ejemplos:

a)3 x² · (- 5 + 2 x + 4 x³) = - 15 x² + 6 x³ + 12 x⁵

b)- 4 x³ · (x² – 2 x³ – 3 x⁴) = - 4 x⁵ + 8 x⁶ + 12 x⁷

Multiplicación de dos polinomios.

Para multiplicar dos polinomios P (x) y Q (x), se utiliza la propiedad distributiva de modo que multiplicamos cada uno de los monomios que componen P (x) por el polinomio Q (x). Es decir, que si P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se tiene que:

P (x) · Q (x) =

= a₀ · Q (x) + (a₁ x)· Q (x) + (a₂ x²)· Q (x) + … + (a_n xⁿ)· Q (x)

Ejemplos:

a) Multipliquemos P (x) = 3 + 4 x – 5 x²  y Q (x) = - 6 x + 4 x²

(3 + 4 x – 5 x²)·(- 6 x + 4 x²) =

= 3·(- 6 x + 4 x²) + 4 x·(- 6 x + 4 x²) – 5 x²·(- 6 x + 4 x²)=

= - 18 x + 12 x² – 24 x² + 16 x³ + 30 x³ – 20 x⁴ =

= - 18 x – 12 x² + 46 x³ – 20 x⁴

b) Multipliquemos P (x) = x² – 6 x³  y Q (x) = 3 x + x² – 2 x³

(x² – 6 x³)·(3 x + x² – 2 x³) =

= x²·(3 x + x² – 2 x³) – 6 x²·(3 x + x² – 2 x³) =

= 3 x³ + x⁴ – 2 x⁵ – 18 x³ – 6 x⁴ + 12 x⁵ =

= - 15 x³ – 5 x⁴ + 10 x⁵

En ocasiones, especialmente cuando queremos multiplicar polinomios con muchos términos, es más práctico colocarlos ordenados respecto de su grado uno encima de otro y multiplicar todos sus términos entre sí (como en la multiplicación de dos números de varias cifras), teniendo cuidado de colocar los términos resultantes del mismo grado por columnas para poderlas sumar.

Ejemplo:

Vamos a multiplicar los polinomios P (x) = 7 + 2 x + 5 x² – 2 x³  y  Q (x) = 2 + 3 x² – 2 x³.

Producto de radicales.

A la hora de multiplicar dos o más radicales, hemos de distinguir dos casos:

Caso 1: cuando todos los radicales tienen el mismo índice, su producto es otro radical del mismo índice y cuyo radicando es el producto de los radicandos. Es decir:

Es fácil entender que esto es así, si tenemos en cuenta las propiedades de las potencias, ya que la expresión anterior es equivalente a la siguiente:

Ejemplos:

Caso 2: si los radicales que vamos a multiplicar tienen índices diferentes, debemos reducirlos previamente a índice común y después multiplicamos como en el caso 1.

Ejemplo:

Vamos a efectuar la siguiente multiplicación:

El mínimo común múltiplo de los índices es 24, por lo que reducimos los tres radicales a dicho índice:

Y ahora, multiplicando como en el caso 1, obtenemos el siguiente resultado:

Problema 139

Un número de dos cifras cumple que el producto de los dígitos que lo forman coincide con la tercera parte de dicho número.

¿Cuál es?

Solución:

Sea ab dicho número.

El producto de los dígitos a y b, coincide con la tercera parte del número; es decir, que (b + 10a)/3 = a·b.

Así:

b + 10 a = 3 a· b

b = 3 a · b – 10 a

b = a (3 b – 10)

Como b es un dígito (y a también), para que sea mayor o igual que cero debe cumplirse que 3b – 10 sea mayor o igual que cero. Y para ello, b tiene que ser mayor o igual  que 4.

Por tanto, b debe estar comprendido entre 4 y 9.

Vemos todos los casos, teniendo en cuenta que b = a (3 b – 10):

Si b = 4, entonces 4 = a·2, de donde a = 2. El número es el 24.

Si b = 5, entonces 5 = a·5, de donde a = 1. El número es el 15.

Si b = 6, entonces 6 = a·8, lo que es imposible por ser a entero.

Si b = 7, entonces 7 = a·11, lo que es imposible por ser a entero.

Si b = 8, entonces 8 = a·14, lo que es imposible por ser a entero.

Si b = 9, entonces 6 = a·17, lo que es imposible por ser a entero.

Como conclusión, existen dos números que cumplen las condiciones dadas y que son solución del problema. Son los números 24 y 15.

Producto y potencia en notación científica.

Para multiplicar dos o más números en notación científica basta con tener en cuenta la propiedad conmutativa que se cumple en el producto de números reales. Esta propiedad permite que podamos multiplicar por un lado todas las potencias de 10 y, por otro, los números decimales que acompañan a dichas potencias. Una vez que se han realizado esas multiplicaciones, nos aseguramos de que el resultado esté expresado en notación científica.

Ejemplos:

a)Vamos a multiplicar los tres números siguientes.

(1,3 · 10⁶) · (2,54 · 10⁹) · (5,36 · 10¹²)

Utilizando la propiedad conmutativa, podemos expresar la operación anterior como (1,3 ·  2,54 · 5,36) · (10⁶ · 10⁹ · 10¹²) y, por tanto, tenemos que:

(1,3 · 10⁶) · (2,54 · 10⁹) · (5,36 · 10¹²) = 17,69872 · 10²⁷ =

= 1,769872 · 10²⁷ · 10 = 1,769872 · 10²⁸

b)Multiplicamos ahora (3,516 · 10⁵) · (9,03 · 10^-16).

(3,516 · 10⁵) · (9,03 · 10^-16) = (3,516 · 9,03) · (10⁵ · 10^-16) =

= 31,74948 · 10^{- 11} = 3,174948 · 10^{- 10}

Para calcular cualquier potencia de un número expresado en notación científica, tenemos en cuenta la siguiente propiedad de las potencias:

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

Ejemplos:

a)Para calcular (2,7 · 10³)⁴ aplicamos la propiedad anterior.

(2,7 · 10³)⁴ = (2,7)⁴ · (10³)⁴ = 53,1441 · 10¹² = 5,31441 · 10¹³

b)Calculamos ahora (3,1 · 10^{- 5})⁶.

(3,1 · 10^-5)⁶ = (3,1)⁶ · (10^{- 5})⁶ = 887,503681 · 10^{- 30} =

=  8,87503681 · 10^{- 30} · 10² = 8,87503681 · 10^{- 28}

Para ver la suma de números en notación científica pincha en el enlace siguiente:

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/07/suma-en-notacion-cientifica.html

Problema 91

Considera los números A = 84 y B = 36. Si invertimos el orden de sus cifras obtenemos otros dos números A´= 48 y B´= 63.

¿Qué relación existe entre los productos A · B y A´· B´?

¿Ocurre lo mismo si repetimos el proceso con  A = 26 y B = 93?

¿Serías capaz de encontrar otras parejas de números de dos cifras que verifiquen la misma propiedad? ¿Qué deben cumplir todas esas parejas?

Solución:

Es fácil comprobar que:

84·36 = 3024 = 48·63

26·93 = 2418 = 62·39

Así, en estos dos casos, la relación existente entre los productos es que A · B = A´· B´.

Pero lo interesante del problema es intentar una generalización: encontrar la condición que deben cumplir dos números de dos cifras para que se verifique la propiedad.

Si A y B son dos números de dos cifras (A = ab y B = cd), podemos expresarlos de la forma A = b + 10 a, y B = d + 10 c.

A · B = A´· B´ equivale a (b+10a)·(d+10c) = (a+10b)·(c+10d)

b·d+10b·c+10a·d+100a·c = a·c+10a·d+10b·c+100b·d

b·d+100a·c = a·c+100b·d

99a·c = 99b·d

a·c = b·d

Así, queda demostrado que esta propiedad la cumple cualquier pareja de números de dos cifras tales que el producto de las primeras cifras de ambos sea igual al producto de sus segundas cifras.

Problema 59

Encuentra un número capicúa de seis cifras, sabiendo que cumple las condiciones siguientes:

-Es múltiplo de 8.

-El producto de todas sus cifras es 44100.

Solución:

Si tiene seis cifras y es capicúa, será de la forma abccba.

El producto de sus cifras es a·b·c·c·b·a = 

= a²·b²·c² = (a·b·c)².

Por tanto, sabemos que (a·b·c)² = 44100 = 210² y, entonces, se cumple que a·b·c = 210 = 2·3·5·7. Como a, b y c son números de una cifra, necesariamente uno de ellos ha de ser 6, otro 5 y el que queda 7.

Como el número de seis cifras es múltiplo de 8, debe ser par. Así, ha de terminar en 6 (ya que 5 y 7 son impares) y esto hace necesario que a =6.

De esta forma, solo quedan dos opciones posibles: que el número sea el 657756 o el 675576. Pero es fácil comprobar que el primero de ellos no es divisible por 8 mientras que sí lo es el segundo.

Así, el número buscado es el 675576.

Problema 23

Si descomponemos el número 100 como producto de cuatro números enteros positivos y distintos, ¿cuánto valdrá la suma de esos cuatro números?

Solución:

Si descomponemos el 100 como producto de números primos, se tiene que 100 = 2·2·5·5.

Los números positivos que podemos obtener agrupando dichos factores en todas las formas posibles son 2, 5, 4, 25 y 10 (podemos contar con el 1 pues 100 = 1·2·2·5·5).

La única forma posible de obtener 100 multiplicando cuatro de dichos números es 100 = 1·2·5·10.

Así, dichos números suman 1 + 2 + 5 + 10 = 18.