Potencia y raíz de un radical.

Si tenemos un radical cualquiera y queremos elevarlo a una potencia de exponente m, basta con aplicar la fórmula siguiente:

En efecto, la expresión anterior se obtiene fácilmente aplicando las propiedades de las potencias:

Ejemplos:

Para calcular la raíz m-ésima de cualquier radical, se aplica la fórmula siguiente:

También es fácil demostrar esta expresión utilizando las propiedades de las potencias:

Ejemplos:

Producto y potencia en notación científica.

Para multiplicar dos o más números en notación científica basta con tener en cuenta la propiedad conmutativa que se cumple en el producto de números reales. Esta propiedad permite que podamos multiplicar por un lado todas las potencias de 10 y, por otro, los números decimales que acompañan a dichas potencias. Una vez que se han realizado esas multiplicaciones, nos aseguramos de que el resultado esté expresado en notación científica.

Ejemplos:

a)Vamos a multiplicar los tres números siguientes.

(1,3 · 10⁶) · (2,54 · 10⁹) · (5,36 · 10¹²)

Utilizando la propiedad conmutativa, podemos expresar la operación anterior como (1,3 ·  2,54 · 5,36) · (10⁶ · 10⁹ · 10¹²) y, por tanto, tenemos que:

(1,3 · 10⁶) · (2,54 · 10⁹) · (5,36 · 10¹²) = 17,69872 · 10²⁷ =

= 1,769872 · 10²⁷ · 10 = 1,769872 · 10²⁸

b)Multiplicamos ahora (3,516 · 10⁵) · (9,03 · 10^-16).

(3,516 · 10⁵) · (9,03 · 10^-16) = (3,516 · 9,03) · (10⁵ · 10^-16) =

= 31,74948 · 10^{- 11} = 3,174948 · 10^{- 10}

Para calcular cualquier potencia de un número expresado en notación científica, tenemos en cuenta la siguiente propiedad de las potencias:

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

Ejemplos:

a)Para calcular (2,7 · 10³)⁴ aplicamos la propiedad anterior.

(2,7 · 10³)⁴ = (2,7)⁴ · (10³)⁴ = 53,1441 · 10¹² = 5,31441 · 10¹³

b)Calculamos ahora (3,1 · 10^{- 5})⁶.

(3,1 · 10^-5)⁶ = (3,1)⁶ · (10^{- 5})⁶ = 887,503681 · 10^{- 30} =

=  8,87503681 · 10^{- 30} · 10² = 8,87503681 · 10^{- 28}

Para ver la suma de números en notación científica pincha en el enlace siguiente:

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/07/suma-en-notacion-cientifica.html

Potencias de una matriz

Calcula A ²⁷ y A ⁴⁰ siendo A la matriz siguiente:

Solución:

Calculamos algunas potencias sucesivas de A:

Observamos que Aⁿ = I si n es par:

En efecto, si n es par, existe m tal que n = 2m y, en ese caso, se cumple que Aⁿ = A^2m = (A²)^m = I^m = I

Del mismo modo, Aⁿ = A si n es impar:

Efectivamente, si n es impar, existe m par tal que n = m + 1, y entonces, Aⁿ = A^{m + 1} = A^m · A¹ = I· A = A.

Por tanto, A ²⁷ = A  y  A ⁴⁰ = I, siendo I la matriz identidad de orden dos.

Problema 30

¿En qué cifra acaba 7 elevado a 5211? 

Solución:

Calculamos las primeras potencias de 7:

Y, si seguimos multiplicando por 7 para obtener las siguientes potencias, podemos observar que se van repitiendo las terminaciones.

Se cumple que las terminaciones de las potencias de 7 se repiten en ciclos de cuatro (7, 9, 3, 1).

Si dividimos 5211 entre 4, obtenemos 1302 de cociente y 3 de resto, lo que significa que se repetirán 1302 ciclos de 4 y la terminación será el tercer elemento del ciclo siguiente.

Por tanto, 7 elevado a 5211 acaba en 3.

Las aventuras de Troncho y Poncho. Potencias