Problema 134

Para abastecer su tienda de regalos, un comerciante ha adquirido una serie de artículos en un almacén. El precio medio de los artículos que ha comprado es de 6 euros. Pero el 25% de los artículos adquiridos tienen un precio inferior.

Si el precio medio de los artículos de precio inferior a 6 euros es de 3 euros, ¿cuál es el precio medio de los artículos cuyo precio es superior a 3 euros?

Solución: 

Si llamamos x al número total de artículos, el número de los que tienen un precio inferior a  6 € es 0,25 x mientras que el de los que tienen un precio superior a 6 € es 0,75 x.

Sea m el precio medio de los que cuestan más de 6 euros. Entonces, tenemos:

-la suma de los precios de todos los que cuestan menos de 6 € es:

 3· 0,25 x

-la suma de los precios de todos los que cuestan más de 6 € es:

 m· 0,75 x

 Así, el precio medio de todos los artículos adquiridos es:

Simplificando la fracción, se deduce que 3· 0,25 + m· 0,75 =6, es decir que 0,75 m = 6 – 0,75 = 5,25. 

Despejando m, se obtiene que m = 5,25/0,75 = 7.

Por tanto, el precio medio de los que cuestan más de 6 euros es, realmente, de 7 euros.

Problema 132

Javi salió de compras con 200 euros. Compró tres camisas de colores distintos y le sobraron 32 euros.

El precio de la camisa blanca fue el precio de la azul más un tercio; el precio de la azul fue un tercio del precio de las otras dos juntas.

¿Cuánto le costó la camisa negra?

Solución:

Llamamos a, b y n a los precios de las camisas azul, blanca y negra, respectivamente.

Tenemos que:

b = a + (a/3) = 4a/3, de donde a = 3b/4

Por otro lado, se tiene que a = (b + n)/3

Igualando ambas expresiones, se deduce:

(b + n)/3 = 3b/4

4b + 4n = 9b

4n = 5b

n = 5b/4

Como le han sobrado 32 de los 200 €, se tiene:

a + b + n = 200 – 32 = 168

3b/4 + b + 5b/4 = 168

3b + 4b + 5b = 672

12 b = 672

b = 56

Así, el precio de la camisa negra es 5·56/4 = 70 euros.

Problema 131

El sueldo por hora de Tomás supera en 3,20 euros al de Julián.

Julián necesita trabajar nueve horas para ganar lo mismo que Tomás trabajando solo siete.

¿Cuál es el sueldo por hora de Julián?

Solución:

Si llamamos x al sueldo de Julián por hora, en euros, el de Tomás es x + 3,20.

Tomás gana en 7 horas 7·(x + 3,20) = 7 x + 22,40 euros.

Julián gana en 9 horas 9·x euros.

Por tanto, 7 x + 22,40 = 9 x; es decir, 2 x = 22,40.

Así, el sueldo por hora de Julián x = 11,20 €.

Problema 129

Para su fiesta de cumpleaños, Marcos invitó a un grupo de niños y niñas. Su madre preparó dos bocadillos por cada invitado pero solo han asistido a la fiesta tres cuartas partes de los invitados.

Las ausencias y el hecho de que asistieran 16 niñas, han hecho posible que a cada niño le correspondiera un bocadillo extra.

¿Cuántos bocadillos preparó la madre de Marcos?

Solución:

Si llamamos x al número total de invitados, la madre preparó 2x bocadillos.

A la fiesta asistieron 3x/4 invitados, de los que 16 eran niñas, de donde resulta que (3x/4)- 16 eran niños.

Cada niña comió dos bocadillos mientras que cada niño comió tres. Así, obtenemos la ecuación siguiente:

Resolvemos esta ecuación:

Por tanto, la madre de Marcos preparó 2 x = 128 bocadillos.

Problema 128

La edad de un anciano coincide con el número que se obtiene al multiplicar por 9 la suma de los dígitos que componen dicha edad. Sabiendo que no es centenario, ¿cuántos años tiene?

Solución:

Al no ser centenario, su edad es un número de dos dígitos.

Si ab es dicha edad, podemos expresarla como 10 a + b.

La suma de sus dígitos es a + b, por lo que el enunciado del problema origina la siguiente ecuación:

10 a + b = 9·(a + b)

Simplificamos la ecuación:

10 a + b = 9 a + 9 b

10 a – 9 a = 9 b – b

a = 8 b

Al ser a un dígito, b ha de ser igual a 1 (si fuese mayor que 1, a tendría más de una cifra). Por tanto, b = 1 y a = 8.

Así, la edad del anciano es 81 años.

Problema 127

En la realización de un test psicotécnico, Luisa debe responder  a dos cuestionarios, ambos con el mismo número de preguntas.

Una vez terminado, le informan de que ha fallado el 25% del total de las preguntas. Ella comprueba, además, que en el primer cuestionario ha respondido bien a dos terceras partes de las preguntas y que en el primero son cinco las preguntas que ha fallado.

¿Cuántas preguntas componían cada uno de los cuestionarios?

Solución:

Sea n el número de las preguntas que componen cada cuestionario.

Así, el número total es de 2n preguntas y Luisa ha fallado el 25% de 2n, es decir, 0,25 · 2n = 0,5 n preguntas en total.

En el primer cuestionario acierta dos terceras partes o, lo que es equivalente, falla un tercio de n preguntas, es decir, n/3.

En el segundo cuestionario falla 5 preguntas, de donde deducimos que entre los dos cuestionarios ha fallado 5 + n/3 preguntas.

Por tanto, tenemos que 0,5 n = 5 + n/3. Resolvemos dicha ecuación:

0,5 n = 5 + n/3

n/2 = 5 + n/3

n/2 – n/3 = 5

(3n – 2n)/6 = 5

n = 5·6 = 30

Como conclusión, cada cuestionario estaba formado por 30 preguntas.

Perpendicular por un punto

Halla la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(- 4, 10) y es perpendicular a la recta s de ecuación y = (3/5)x – 2.

Solución:

Por ser perpendiculares, la pendiente de r es:

     

                 m = - 5/3 

Por tanto, podemos escribir su ecuación de la forma y = -(5/3) x + b para algún valor real de b.

Como r pasa por el punto P, dicho punto debe verificar su ecuación.

Sustituyendo las coordenadas de P en dicha ecuación, obtenemos que 10 = -(5/3)·(- 4) + b, de donde deducimos que:

10 = 20/3 + b; 30 = 20 + 3 b; 10 = 3 b; b = 10/3

Así, la ecuación de la recta r es:

Otra forma de resolver el problema es con la utilización de la ecuación punto-pendiente.

Como la pendiente ha de ser m = - 5/3, y la recta r debe pasar por el punto P (-4, 10), aplicando dicha ecuación, obtenemos que r se puede expresar de la forma siguiente:

y – 10 = -5/3·(x – (- 4))

y - 10 = - (5 x)/3 – 20/3

3 y – 30 = - 5 x - 20

3 y = - 5 x + 10  o  3 y + 5 x = 10   o   y = -(5/3) x + 10/3

Paralela por un punto

Halla la ecuación de la recta r que pasa por el punto P (5, – 6) y es paralela a la recta s de ecuación y = - 2 x + 7.

Solución:

Por ser paralelas, ambas rectas han de tener la misma pendiente.

Por tanto, sabemos que la ecuación de r puede escribirse de la forma y = - 2 x + b para algún valor real de b.

Como r pasa por el punto P, dicho punto debe verificar su ecuación.

Sustituyendo las coordenadas de P en dicha ecuación, obtenemos que  – 6 = - 2·5 + b, lo que es equivalente a decir que – 6 = - 10 + b, de donde despejamos b = 4.

Así, la ecuación de la recta r es y = - 2 x + 4.

Otra forma de resolver el problema es con la utilización de la ecuación punto-pendiente.

Como la pendiente ha de ser m = - 2, y la recta r debe pasar por el punto P (5, - 6), aplicando dicha ecuación, obtenemos que r se puede expresar de la forma siguiente:

y – (- 6) = -2·(x -5)

y + 6 = - 2 x + 10

y = - 2 x + 4     o     y + 2x = 4

Problema 111

Un anciano multimillonario se dispone a hacer su testamento y, llegado el momento de hacer la distribución de sus ahorros, piensa en la cantidad de gente que tendrá más necesidades que cualquiera de sus familiares y decide donar el 40% de dichos ahorros a entidades que puedan ayudar a los más necesitados.

Se informa de las organizaciones con fines humanitarios que tienen sede en su ciudad y opta por repartir el dinero entre todas ellas.

A la primera organización le asigna un millón de euros más una séptima parte del resto; a la segunda, dos millones más una séptima parte del resto; a la tercera, tres millones más una séptima parte del resto; y así sucesivamente.

Finalizado este reparto, resulta que todas las organizaciones humanitarias de su ciudad han recibido exactamente la misma cantidad de dinero.

1. ¿Qué cantidad de dinero reparte entre dichas organizaciones?

2. ¿Cuántas organizaciones con fines humanitarios tienen sede en su ciudad?, ¿qué cantidad de dinero le ha correspondido a cada una de ellas?

3. ¿A cuánto ascienden los ahorros del anciano?

Solución:

1. Si x es el dinero que repartirá entre las organizaciones, expresado en millones de euros, la primera organización recibe: 

La segunda organización recibe: 

   Como ambas reciben la misma cantidad, se obtiene la ecuación:

  Su solución es x = 36. Así, el dinero que repartirá entre las distintas organizaciones es 36 millones de euros.

2. Sustituyendo el valor de x = 36 en la expresión de la cantidad recibida por la primera de las organizaciones, se tiene que dicha cantidad es (6 + 36)/7 = 42/7 = 6. Luego todas y cada una de ellas recibirá 6 millones de euros.

Como todas ellas reciben la misma cantidad y el total repartido es de 36 millones, resulta que hay 6 organizaciones humanitarias en su ciudad.

3. Los 36 millones son el 40% del total de sus ahorros y, por ello, dicho total asciende a (36·100)/40 = 90 millones de euros.

Problema 101

Arturo guarda en una hucha monedas de un euro y de dos euros. Tiene en ella 39 monedas de un euro y 23 de dos euros. Cada semana añade a la hucha 8 monedas de dos euros y 6 de un euro.

Pasadas varias semanas, observa que tiene el mismo número de monedas de las dos clases. ¿Cuánto dinero tiene en la hucha en ese momento?

Solución:

Supongamos que son x las semanas que han pasado. Entonces, el número de monedas de cada clase es:

-Monedas de 1 euro = 39 + 6x

-Monedas de 2 euros = 23 + 8x

Como en ese momento el número de monedas de cada clase se ha igualado, resulta que:

39 + 6x = 23 + 8x

16 = 2x

x = 8 semanas

Y las monedas que tiene, pasadas esas 8 semanas son:

-Monedas de 1 euro = 39 + 48 = 87, cuyo valor es 87 €

-Monedas de 2 euros = 23 + 64 = 87, cuyo valor es 174 €

Así, el dinero que tiene en la hucha asciende a 261 €.

Problema 93

Cuatro amigos quedan para jugar y cada uno de ellos lleva un número diferente de palillos, pero si reúnen los de todos consiguen un total de 45.

Para el juego que van a practicar es necesario que todos los jugadores comiencen con el mismo número de palillos. Para conseguir esta condición efectúan los siguientes cambios:

-Carlos le da a María dos de sus palillos.

-Julio se queda sólo con la mitad de los suyos, poniendo a disposición del grupo la otra mitad.

-De los que Julio ha puesto a disposición de todos, Teresa coge tantos como ella llevaba al principio.

Tras estos cambios ya pueden iniciar el juego previsto.

¿Cuántos palillos llevaba cada uno inicialmente?

Solución:

Utilizamos la tabla siguiente:

Como después de los cambios todos tienen el mismo número, deducimos:

x - 2 = y + 2, de donde y = x - 4

x - 2 = z/2, de donde z = 2x - 4

x - 2 = 2t, de donde t = (x - 2)/2

Como la suma de los palillos iniciales es 45, se obtiene:

x+x-4+2x-4+(x-2)/2 = 45

 La solución de esta ecuación es  x = 12.

Por tanto, se deduce que Carlos, María, Julio y Teresa llevaban 12, 8, 20 y 5 palillos, respectivamente, antes de hacer los cambios.

Problema 58

Un grupo de niños está haciendo intercambios de cromos, mediante sus normas establecidas para los cambios. Observo que, a cambio de un cromo de Astérix, un niño recibe de otro un cromo del Capitán Trueno y ocho de Supermán. Otro niño, a cambio de doce cromos de Supermán, recibe tres del Capitán Trueno  y uno de Astérix. ¿Cuántos cromos de Supermán tendré que entregarles para que me los cambien por uno de Astérix?

Solución:

Llamamos A a un cromo de Astérix, C a uno del Capitán Trueno y S a uno de Supermán.

Los cambios observados, se expresan de la forma siguiente:

Sustituimos en la segunda ecuación la expresión de A de la primera ecuación:

12 S = 3 C + C + 8 S ⟺ 4 S = 4 C ⟺ S = C

Entonces, A = C + 8 S = S + 8 S = 9 S, y, por tanto, habré de entregarles nueve cromos de Supermán.