Tres números

De tres números x, y, z, sabemos lo siguiente: que el primero más el segundo suman cero; que el primero más el tercero suman uno; que la suma de los tres vale cero; y, por último, que el primero multiplicado por un número k más el doble de la suma del segundo y el tercero da uno.

a) ¿Qué puedes decir del valor de k?

b) ¿Cuánto vale cada uno de los tres números?

Solución:

a)  Las condiciones mencionadas dan lugar al sistema siguiente:

Aplicamos el método de Gauss:

Así, k = 3 porque, en otro caso, el sistema sería incompatible.

b) Considerando k = 3, resolvemos el sistema: 

z = - 1

y – z = 1 Þ y = z + 1 = - 1 + 1 = 0

x + z = 0 Þ x = - z = 1

Por tanto, los números son x = 1, y = 0, z = - 1.

Sistema compatible indeterminado

Resuelve el sistema siguiente, utilizando el método de Gauss:

Solución:

Formamos la matriz ampliada y aplicamos las transformaciones de equivalencia que se  indican:

Al ser nula la tercera fila, se observa que el sistema es compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones que dependerán de un parámetro, ya que tenemos tres incógnitas y dos ecuaciones no nulas.

Teniendo en cuenta que se ha realizado un cambio de columnas, llamamos x = a, y despejamos:

Así, la solución general es:

Igualdad de matrices

Halla los valores de x, y, z y t, para que se verifique la igualdad:

Solución:

Multiplicamos las dos matrices:

Con las dos primeras ecuaciones del sistema, se forma un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, cuya solución es:

Análogamente, con las otras ecuaciones, las soluciones son:

Soluciones de un sistema

Determina el valor de los coeficientes a, b y c  para que la terna (1, 1, - 1) sea solución del sistema siguiente:

Una vez determinados a, b y c, clasifica el sistema y encuentra todas sus soluciones.

Solución:

Sustituimos (x, y, z) por (1, 1, - 1) en cada una de las ecuaciones:

Resolvemos este sistema aplicando el método de Gauss:

Despejamos las incógnitas:

4 c = 12 Þ c = 3

b + 3 c = 5 Þ b + 9 = 5 Þ b = - 4

a + b – c = - 2 Þ a – 4 – 3 = - 2 Þ a = 5

Por tanto, tenemos que:

a = 5, b = - 4 y c = 3

Una vez determinados los valores a, b, c y d, y sustituyendo estos en el sistema inicial, se obtiene:

Aplicamos el método de Gauss:

Como se observa, el sistema es compatible determinado, y el sistema de ecuaciones asociado es:

Y, por tanto, la única solución es:

(x = 1, y = 1, z = - 1)

Sistema homogéneo

Determina el valor de a para que tenga infinitas soluciones el siguiente sistema:

Solución:

Al ser homogéneo, siempre tendrá solución. 

Por tanto, para tener infinitas soluciones debe cumplirse que el determinante de la matriz de coeficientes sea nulo.

Como esta ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales, se concluye que el sistema no tendrá infinitas soluciones para ningún valor de a.

Por tanto, el sistema será siempre compatible determinado con solución (x, y, z) = (0, 0, 0).

Discusión de sistema

Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de Gauss:

Solución:

Aplicamos las transformaciones de equivalencia en la matriz ampliada del sistema:

·         Si m = 1, la última fila es (0 0 0 0), con lo cual el sistema sería compatible indeterminado.

En este caso, tenemos que y = 0.

Llamando z = a, se tiene que x + 0 + a = 1, es decir, x = 1 - a.

Por tanto, la solución general es:

(x, y, z) = (1 - a, 0, a)

·         Si m ¹ 1, las tres filas de la matriz de coeficientes son no nulas y, por tanto, el sistema sería compatible determinado.

En este caso, se tiene:

z = 0  e  y = 0

Y, despejando:

x + 0 + 0 = 1 Þ x = 1

Luego, la solución del sistema es (x, y, z) = (1, 0, 0).

Alumnos con regalo

En una clase de 32 alumnos, como todos aprueban el curso con una nota media mayor o igual que bien, el instituto les hace regalos a cada uno de ellos. A cada alumno que ha obtenido la calificación de BIEN se le regalan 3 bolígrafos; a cada uno de los que ha obtenido NOTABLE se le entregan  5 bolígrafos y un cuaderno; y a cada uno de los que ha sacado SOBRESALIENTE se les entregan 6 bolígrafos, un cuaderno y una carpeta.

Si el número de regalos que se les ha entregado en total es 174 y se sabe que el número de alumnos que ha obtenido SOBRESALIENTE es dos unidades menor que el número de los que han sacado NOTABLE, calcula el número de alumnos que ha obtenido cada una de las calificaciones.

Solución:

Recopilamos los datos en la tabla siguiente:

De esta forma, se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolvemos el sistema:

Por tanto, y = 11, y  x=34 – 2·11= 12.

Luego, 12 alumnos han obtenido una calificación de bien, 11 de notable y 9 de sobresaliente.

División con cambios

En una división, el cociente es 17 y el resto 11. Si el divisor aumenta en dos unidades, el cociente disminuye en dos unidades y el resto es 5. Calcula el dividendo y el divisor de la división inicial.

Solución: 

Sean x el dividendo e y el divisor.

Aplicando la prueba de la división deducimos que x = 17 y + 11.

Si el divisor aumenta en dos unidades (y + 2), el cociente disminuye en dos unidades (17 – 2 = 15) y el resto es 5.

Con el mismo razonamiento, se obtiene que x= 15 (y + 2) + 5.

Así, se plantea el sistema de ecuaciones siguiente:

Entonces, x = 17·12 + 11 = 215.

Luego, en la división inicial, el dividendo es 215 y el divisor es 12.

Abrigo y pantalón

Álvaro ha comprado un abrigo y un pantalón por 250 €. La mitad del coste del abrigo coincide con el doble del precio del pantalón. ¿Cuánto ha pagado por cada prenda?

Solución:

Sean x, y, los precios del abrigo y del pantalón, respectivamente.  El sistema de ecuaciones  que se plantea es el siguiente:

 Resolvemos el sistema:

Por tanto, los precios del abrigo y del pantalón son 200 € y 50 €, respectivamente.

Suma, doble y mitad

La suma de dos números es 10. La mitad de uno de ellos es el doble del otro. ¿Cuáles son?

Solución:

Sean x, y, ambos números. Suponemos que la mitad de x es el doble de y. Entonces, se obtiene el siguiente sistema:

Resolvemos el sistema:

Luego, los números buscados son 8 y 2.

Sistemas de ecuaciones lineales

Método de Gauss

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Método de Gauss