Inducción

Estrategia de inducción matemática                            

Es uno de los métodos más habitualmente utilizados para resolver situaciones relacionadas con los números naturales, y consiste en lo siguiente.

Si se desea demostrar una propiedad P que esté asociada a los números naturales, hay que probar:

a) El número 1 (o quizás otro) cumple dicha propiedad.

b) Si un número natural k cumple la propiedad P, también la cumple el número k+1.

Vamos a utilizar este método para resolver el problema siguiente:

¿Cuánto vale la suma de los n primeros números naturales?

Estudiaremos primero los casos para valores pequeños de n, llamando S_n a la suma que queremos encontrar.

-      n = 2, S₂ = 1 + 2 = 3

-      n = 3, S₃ = 1 + 2 + 3 = 6

-      n = 4, S₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

-      n = 5, S₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

-      n = 6, S₆ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Si seguimos con algunos casos más, podemos darnos cuenta de que la suma del primer sumando con el último, es la misma que la del segundo con el penúltimo, y que la del tercero con el antepenúltimo, y así sucesivamente.

Por ejemplo: en S₆, 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4.

Así pues, en las sumas con un número par de sumandos bastaría con multiplicar la suma del primer y del último término por el número de parejas que se pueden formar.

Es decir:     

               

¿Pero será cierto para cualquier n, aunque no sea par?

Utilicemos el método de inducción:

a)Si n = 1: 

Si n = 2: 

b) Supongamos ahora, que esta fórmula es cierta para un número natural k.

Es decir, partimos de que es cierto que si k es un número natural se cumple que:

Debemos probar entonces, que también es cierto para el número k + 1.

Está claro que   S_k+1 = S_k + k + 1, y como conocemos el valor de S_k vamos a sustituirlo en esta expresión:

Factorizamos el polinomio  k² +3 k +2, igualándolo a cero y resolviendo la ecuación que se obtiene:

Luego:

k² + 3 k +2 = (k + 1) (k + 2)

Si tenemos en cuenta esta factorización, la expresión de S_k+1 quedaría de la forma:

Así pues, la fórmula en cuestión es también cierta para k + 1.

Queda demostrado por tanto, que la suma de los n primeros números naturales es: