Ecuaciones bicuadradas.

Se llama ecuación bicuadrada a la que es de cuarto grado pero no tiene términos de grado impar. Por tanto, tendrá términos de grado cuatro, de grado dos y términos independientes.

Mediante las transformaciones de equivalencia, podemos expresar cualquier ecuación bicuadrada en la forma a x⁴ + b x² + c = 0, siendo a distinto de cero. 

Para resolver estas ecuaciones utilizamos un cambio de variable, que consiste en hacer t = x². Ello supone que t² = x⁴, y que la ecuación bicuadrada se transforma en la ecuación de segundo grado siguiente:

 a t² + b t + c = 0

Resolvemos esta última con la fórmula general:

Así encontramos los valores de t que son solución de la ecuación de segundo grado.

Y entonces hay que deshacer el cambio de variable para encontrar las soluciones de la ecuación bicuadrada. Teniendo en cuenta que t = x², es fácil comprender que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Por tanto, por cada solución de la ecuación de segundo grado existirán dos soluciones de la bicuadrada (la raíz cuadrada positiva y la negativa).

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación x⁴ – 13 x² + 36 = 0.

Si llamamos t = x², la ecuación anterior se transforma en la de segundo grado siguiente, que resolvemos:

t² – 13 t + 36 = 0

De esta forma, sus soluciones son:

Al deshacer el cambio de variable, hemos de calcular las raíces cuadradas de t₁ = 9 y de t₂ = 4, obteniendo que las soluciones de la ecuación bicuadrada inicial son:

x₁ = 3, x₂ = - 3, x₃ = 2, x₄ = - 2

Ejercicios resueltos de ecuaciones bicuadradas.