Problema 136

En una pajarería miden la altura de todos sus pájaros.

Observan que la altura media de los machos es 7,2 cm y la de las hembras 6,6 cm.

Al calcular la altura media de todos los pájaros sin diferenciar el sexo, obtienen una altura de 6,8 cm.

¿Cuál es la proporción de pájaros machos y hembras en dicha  pajarería?

Solución:    

                                 

Sea m el número de pájaros machos y h el de hembras de dicho establecimiento.

La suma de las alturas de todos los machos será 7,2· m

La suma de las alturas de todas las hembras será 6,6· h

De esta forma, la altura media de todos ellos, sin distinción de sexo, será:

Esta igualdad es equivalente a:

 7,2 m + 6,6 h = 6,8 m + 6,8 h 

(7,2 – 6,8) m = (6,8 – 6,6) h

Por tanto, la proporción es:  

Es decir, h = 2m. Por tanto, el número de hembras es doble que el de machos.

Problema 134

Para abastecer su tienda de regalos, un comerciante ha adquirido una serie de artículos en un almacén. El precio medio de los artículos que ha comprado es de 6 euros. Pero el 25% de los artículos adquiridos tienen un precio inferior.

Si el precio medio de los artículos de precio inferior a 6 euros es de 3 euros, ¿cuál es el precio medio de los artículos cuyo precio es superior a 3 euros?

Solución: 

Si llamamos x al número total de artículos, el número de los que tienen un precio inferior a  6 € es 0,25 x mientras que el de los que tienen un precio superior a 6 € es 0,75 x.

Sea m el precio medio de los que cuestan más de 6 euros. Entonces, tenemos:

-la suma de los precios de todos los que cuestan menos de 6 € es:

 3· 0,25 x

-la suma de los precios de todos los que cuestan más de 6 € es:

 m· 0,75 x

 Así, el precio medio de todos los artículos adquiridos es:

Simplificando la fracción, se deduce que 3· 0,25 + m· 0,75 =6, es decir que 0,75 m = 6 – 0,75 = 5,25. 

Despejando m, se obtiene que m = 5,25/0,75 = 7.

Por tanto, el precio medio de los que cuestan más de 6 euros es, realmente, de 7 euros.

Encuentra tres números

Encuentra tres números tales que su suma sea 210, la semisuma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95, y de forma que la media aritmética de los dos últimos sea 80.

Solución:

Llamamos x, y, z, al primero, segundo y tercer número, en este orden.

Expresando las condiciones dadas en el enunciado como ecuaciones lineales, obtenemos el sistema:

Multiplicando la segunda ecuación por cuatro y la tercera por dos, se obtiene que el sistema es equivalente al siguiente:

Aplicamos el método de Gauss a este último sistema: 

De aquí, se deduce que los números buscados son:

x = 50, y = 40  y  z = 120

Cuestión de medias.

Jesús y Alberto son dos amigos y compañeros de clase en un instituto de secundaria de su ciudad. Desde que comenzaron el curso han tenido por costumbre comparar todas sus notas.

En la asignatura de Matemáticas realizan unas pruebas de forma periódica para ser calificados al final de cada trimestre.

A mediados del mes de Diciembre se disponen a analizar sus notas y, para ello, utilizan la tabla siguiente, en la que a lo largo del trimestre han anotado la fecha de cada prueba, el número de unidades que abarca cada una de ellas y la calificación obtenida.

Con estos datos, calculan la media y Jesús se muestra muy satisfecho pues considera que su calificación final será superior.

1. ¿Tiene razón Jesús? ¿Cuál es la media de cada uno?

 Sin embargo, al día siguiente el profesor les aclara que la calificación final no será la media aritmética, ya que no todos los exámenes han contenido la misma materia, y les confirma que será la media ponderada donde el peso de cada prueba será proporcional al número de unidades que incluyera.

  De esa forma el que se muestra más contento es Alberto.

2. ¿Tiene razón para ello? ¿Cuál sería así la calificación de cada uno de ellos?

3. Representa mediante una poligonal la evolución a lo largo del tiempo de las notas de Matemáticas conseguidas por Alberto.

4. ¿Se ha mantenido constante en algún periodo de tiempo?

5. Localiza el máximo de la gráfica. ¿En qué momento se produce?

Solución:

1. Si, ya que la media de Jesús es 6,83 y la de Alberto es 6,5.

2. Si. La calificación sería 6,7 para Jesús y 6,8 para Alberto

3. La poligonal de las notas de Alberto es la siguiente:

4. Si, del 20 de Octubre al 10 de Noviembre.

5. El máximo es 8 y se alcanza el 1 de Diciembre.

Problema 35

Si consideramos los números 5, 9, 10, 12, 13, 14, 16 y 17, ¿qué pareja de ellos podemos quitar de la lista, sin que cambie la media aritmética? 

Solución:

La suma de los ocho números es 96, por lo que se deduce que la media aritmética es 96:8 = 12.

La media aritmética de la pareja que se elimine ha de ser la misma para que la del grupo no varíe y, para ello, la suma de los dos ha de ser 24.

Las parejas posibles de la lista inicial de números son:

(5, 9) (5, 10) (5, 12) (5, 13) (5, 14) (5, 16) (5, 17) (9, 10)

(9, 12) (9, 13) (9, 14) (9, 16) (9, 17) (10, 12) (10, 13)

(10, 14) (10, 16) (10, 17) (12, 13) (12, 14) (12, 16) (12, 17)

(13, 14) (13, 16) (13, 17) (14, 16) (14, 17) (16, 17)

La única pareja en la que se cumple que la suma de ambos números es 24 es la formada por 10 y 14, que son los dos números que podemos quitar de la lista.