Llamamos monomios semejantes a aquellos que
tienen la misma parte literal (las mismas variables y elevadas a las mismas
potencias).
Ejemplos:
a)Son semejantes los
monomios M (x) = 8 x2 y N (x) = - 6 x2.
b)Son semejantes los
monomios M (x) = 5 a2 b3 y N (x) = 2 a2 b3.
c)No son semejantes
los monomios M (x) = x2 z3 y N (x) = 2 x3 z2.
Cuando dos o más monomios
son semejantes, los podemos sumar o restar teniendo en cuenta que se puede
extraer como factor común la parte literal de todos ellos.
Así, 4 x3
+ 5 x3 - 6 x3 = (4 + 5 - 6) x3 = 3 x3.
Por tanto, al sumar dos o más monomios semejantes se
obtiene otro monomio semejante a ellos y cuyo coeficiente es la suma de los
coeficientes de todos ellos.
Teniendo en cuenta
lo anterior, deducimos que para sumar dos o más polinomios en una variable
debemos sumar entre sí los monomios del mismo grado que los componen.
Ejemplo:
Sean P (x) = 7 – 8 x
+ 5 x3 y Q (x) = 6 x + 5 x2 – x3 + 4 x4.
Sumando los monomios
del mismo grado entre sí, deducimos que la suma de los polinomios es:
P (x) + Q (x) = 7 + (- 8 + 6) x + 5 x2
+ (5 – 1) x3 + 4 x4 =
= 7 – 2 x + 5 x2 + 4 x3
+ 4 x4
Teniendo en cuenta
que la suma de números reales es conmutativa, es fácil observar que la suma de polinomios cumple la propiedad
conmutativa.
Ejemplo:
Si nos fijamos en el
ejemplo anterior, tenemos que:
P (x) + Q (x) = (7 – 8 x + 5 x3) +
(6 x + 5 x2 – x3 + 4 x4) =
= 7 + (- 8 + 6) x + 5 x2 + (5 – 1)
x3 + 4 x4 =
= 7 + (6 - 8) x + 5 x2 + (- 1 + 5)
x3 + 4 x4 =
= (6 x + 5 x2 – x3 + 4
x4) + (7 – 8 x + 5 x3) = Q (x) + P (x)
También existe el elemento neutro para la suma de polinomios.
Es el denominado polinomio nulo, es
decir, aquel cuyos coeficientes son todos iguales a cero.
Para realizar la
suma de varios polinomios, es práctico ordenarlos todos de forma creciente o
decreciente, completando con ceros aquellos términos de los grados que no
aparezcan y colocarlos uno encima de otro, de forma que podamos sumar por
columnas los monomios del mismo grado.
Ejemplo:
Vamos a sumar los
tres polinomios siguientes:
P (x) = 4 – 2 x2
+ 3 x4
Q (x) = 3 x + x3
– x4
R (x) = 5 x4
– 3 x3 + 6 x – 6
Ordenamos en orden
creciente de su grado los polinomios y completamos aquellos términos cuyo grado
no aparece en cada uno de los polinomios:
P (x) = 4 + 0 x – 2 x2
+ 0 x3 + 3 x4
Q (x) = 0 + 3 x + 0
x2 + x3 – x4
R (x) = - 6 + 6 x +
0 x2 – 3 x3 + 5 x4
Colocamos uno encima
de otro y sumamos por columnas:
Así, P (x) + Q (x) + R (x) = -
2 + 9 x –
2 x2 – 2 x3 + 7 x4.
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