Combinación de áreas

Calcula la superficie de la figura siguiente, sabiendo que su altura es  15 cm y que los diámetros de las semicircunferencias miden 12 cm y 8 cm, respectivamente.

Solución:

Si la altura total de la figura es 15 cm, como los radios de las semicircunferencias miden 6 cm y 4 cm, la altura del trapecio mide 15 – 6 – 4 = 5 cm.

Las bases del trapecio coinciden con los diámetros de las semicircunferencias.

Por tanto, tenemos que:

Así, el área de la figura es:

Problema 87

Se está elaborando un gorro de hada en forma de cono para un disfraz. El gorro que se ha preparado tiene una altura de 90 centímetros y una base de 36 centímetros de diámetro. Sin embargo, al colocarlo sobre la cabeza de la chica que va a llevar el disfraz, resulta que la base es demasiado grande y el gorro se encaja de tal manera que le cubre la cara.

Para aprovechar el cono ya construido se decide cortarlo por un plano paralelo a su base pero, para no volver a cometer un error, se decide medir antes la cabeza de la chica, cuyo contorno resulta ser de 60 centímetros.

¿Qué altura tendrá el cono después de cortarlo, si entonces el gorro encaja de forma justa en la cabeza?

Solución:

La base nueva del cono debe encajar en la cabeza y, para ello, ha de cumplirse: 

Utilizamos el siguiente dibujo que describe la situación:

Por la semejanza de los dos triángulos, se obtiene que:

Se deduce entonces que la altura del sombrero es:

Problema 76

Si en la siguiente figura el área de la zona coloreada de rosa es 144π cm², calcula el perímetro de la zona coloreada de verde.

Solución:

Si trazamos el diámetro del círculo, se obtiene la figura siguiente, en la que se observa que dicho diámetro queda dividido en cuatro partes iguales y a cada una de ellas la llamamos a.

Ya que, en el cuadrante superior izquierdo, la zona verde tiene la misma superficie que la zona rosa del cuadrante inferior izquierdo, y que, en el cuadrante inferior derecho, la zona azul tiene la misma que la zona rosa del cuadrante superior derecho, se deduce que el área de la zona coloreada de rosa es igual a la de un círculo completo de radio a. Por tanto, 144π = π·a² y, de esta igualdad se despeja a = 12 cm.

El perímetro de la zona verde es igual a:

P = perímetro de semicírculo de diámetro 4a + 2· perímetro de semicírculo de diámetro a + perímetro de semicírculo de diámetro 2a

Luego:   

P =(1/2)·π·4a + 2·(1/2)·π·a + (1/2)· π·2a =

= 2aπ + aπ + aπ = 4aπ = 4·12·π = 48π cm

Se observa que coincide con el perímetro del círculo de la figura (de diámetro 4a = 48 cm).

Problema 42

Calcula el perímetro de la figura sabiendo que cada uno de los círculos que la componen mide 10 cm de diámetro.

Solución:

Si consideramos la figura coloreada de la forma siguiente, podemos observar que de los círculos coloreados, la porción de cada uno de ellos que forma parte del perímetro de la figura completa es una semicircunferencia.

Longitud de la semicircunferencia = π·r = 5π cm

Para ver la porción de circunferencia correspondiente a cada uno de los círculos vértices (sin colorear)que forma parte del perímetro de la figura, tenemos en cuenta el dibujo siguiente:

Podemos ver que el triángulo que une los centros de los tres círculos es equilátero y, por tanto, el ángulo a mide 60^o, igual que sus otros dos ángulos. Así, de cada circunferencia vértice de la figura, forma parte del perímetro la longitud de circunferencia correspondiente a 300 grados, es decir 5/6 de su longitud.

5/6 de la longitud de la circunferencia = (5/6)·π·10 = 50π/6 cm

En total, el perímetro de la figura es:

3·5π + 3·50π/6 = 15π +25π = 40π cm

Problema 38

Se dibuja un cuadrado y, uniendo los puntos medios de sus lados, se dibuja otro cuadrado más pequeño. Se inscribe una circunferencia en el cuadrado menor, que es tangente a él en los puntos medios de sus lados, tal y como muestra la figura.

Si el área del cuadrado mayor es 50 cm ², ¿cuál es la superficie del círculo?

Solución:

Si trazamos las diagonales del cuadrado pequeño, el cuadrado mayor queda dividido en 8 triángulos iguales, cuatro de los cuales forman el cuadrado menor.

De esta forma, el área de este último es la mitad de 50 cm ², es decir, 25 cm ².

Por tanto, su lado mide 5 cm y coincide con el diámetro de la circunferencia. 

Así, la superficie del círculo es: