Máxima rentabilidad

Una entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad que se invierta, x, en miles de euros, por medio de la siguiente expresión:

R(x) = - 0,001 x² + 0,5 x + 2,5

a)¿Qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan?

b)¿Qué rentabilidad obtendría al invertir dicha cantidad?

Solución:

a)Le conviene invertir la cantidad de dinero que le proporcione una rentabilidad máxima y, por tanto, debemos buscar el máximo de R(x). Para ello, utilizamos las derivadas de la función.

R´(x) = - 0,002 x + 0,5

R´´(x) = - 0,002, para cualquier valor de x

Igualamos a cero la derivada y resolvemos la ecuación que se obtiene:

R´(x) = - 0,002 x + 0,5 = 0; - 0,002 x = - 0,5; x = 250

Sustituimos este valor de x en la derivada segunda de la función:

R´´(250) = - 0,002 < 0, lo que nos asegura que en x = 250 la función alcanza el máximo.

Por tanto, la cantidad que le conviene invertir es 250.000 €.

b)La rentabilidad que obtendría en ese caso es el valor de la función R(x) en x = 250:

R(250) = - 0,001· 250² + 0,5·250 + 2,5 = 65

Es decir, que la rentabilidad que obtendría con dicha inversión es de 65.000 €.

Optimización

De entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 10 cm, calcula las dimensiones del que tenga área máxima.

Solución:

Si x e y son los lados del rectángulo, como su diagonal coincide con el diámetro de la circunferencia, se obtiene la relación siguiente, aplicando el teorema de Pitágoras.

El área de un rectángulo es base x altura, por lo que la función a optimizar es:

Derivamos e igualamos a cero la primera derivada de A, y resolvemos la ecuación que se obtiene:

Como x es un lado del rectángulo, no se puede tomar el valor x=0 ni el valor negativo de la raíz. Se comprueba que la segunda derivada de A es negativa en 

  

Así, se obtiene finalmente que el área es máxima cuando se trata de un cuadrado cuyo lado es: