Problema 125

De cierto número sabemos que es 11 unidades menor que un cuadrado perfecto y que es 12 unidades mayor que otro cuadrado perfecto.

¿De qué número se trata?

Solución:

Sea N dicho número.

Sabemos que existen x e y, tales que:

N = x² – 11

N = y² + 12

Entonces, x² – 11 = y² + 12, lo que equivale a que x² – y² = 23.

Como x² – y² = (x + y)(x – y), teniendo en cuenta que 23 es primo, deducimos que:

x + y = 23

x – y = 1

Sumando ambas ecuaciones, resulta que 2 x = 24, de donde despejamos x = 12. Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones, obtenemos que y = 11.

Por tanto, el número N es 12² – 11 = 144 – 11 = 133 (observamos que también 11² + 12 = 121 + 12 = 133).