Problema 100

Tenemos dos fracciones positivas que cumplen las condiciones siguientes:

-Si multiplicamos por tres la primera de ellas, obtenemos la mitad de la segunda.

-Si a la mayor le restamos la menor, obtenemos el número entero 3.

¿De qué fracciones se trata?

Solución:

Aunque se trate de fracciones, podemos sustituirlas por una única variable para facilitar los cálculos.

De esta forma, llamamos x a la primera de las fracciones e y a la segunda.

La primera condición, podemos expresarla de la forma 3·x = y/2, lo que equivale a decir que 6x = y.

De aquí, deducimos claramente que la mayor es y, al tratarse de dos fracciones positivas, y podemos expresar la segunda condición de la forma y – x = 3.

Luego tenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

6x = y

y – x = 3

Es fácil ver que 6x = x + 3, de donde concluimos que x = 3/5. 

Y, entonces, y = 3/5 +3 = 18/5.

Problema 96

Miguel ha comprado una casa en el monte, y decide decorarla una vez que le entreguen las llaves. Después de elegir el color en el que va a pintar cada habitación, les pide ayuda a sus padres, Juan y Lola, para llevar a cabo la tarea entre los tres.

En la casa hay cuatro habitaciones que tienen exactamente las mismas dimensiones, y el color en el que se pinta cada habitación no influye en la velocidad con la que se pinta esta.

La primera habitación la pintan los tres juntos tardando 2 horas, la segunda habitación la pintan los padres tardando 3 horas y la tercera la pinta Lola gastando un tiempo de seis horas.

¿Quién tardaría menos tiempo en pintar la cuarta habitación si lo hiciese solo uno de ellos?

Solución:

Si la tercera habitación la pinta Lola en seis horas, quiere decir que cada hora ella pinta un sexto de la habitación.

Como la segunda la pintan entre los dos padres y tardan 3 horas, en esas tres horas la madre pinta 3/6 partes y el padre pintará otras 3/6, es decir los dos pintan a la misma velocidad.

Al haber pintado la primera habitación en dos horas, los padres han pintado cada uno 2/6 de habitación, por lo que Miguel ha pintado:        

1 - 2/6 - 2/6 = 2/6

Como vemos, los tres han pintado la misma porción, por lo que los tres tardarían el mismo tiempo en pintar la habitación que queda, que sería de seis horas. 

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