En un cuadrado (1) de lado a cualquiera, formamos otro cuadrado (2)
uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado inicial. Repetimos el
proceso en el nuevo cuadrado obteniendo el cuadrado 3 y, así sucesivamente. El
resultado se ve en la figura siguiente:
Demuestra que, si llamamos S1 a
la superficie del cuadrado 1, S2 a la del cuadrado 2, y así sucesivamente, la
sucesión S1, S2, S3,… es una progresión geométrica.
Solución:
Si consideramos solamente los cuadrados 1 y
2, tenemos la figura siguiente:
El área del cuadrado
1 es S1 = a2.
Además, la diagonal
del cuadrado 2 mide lo mismo que el lado del cuadrado 1, por lo que, si
llamamos x al lado del cuadrado 2 y aplicamos el teorema de Pitágoras, se
cumple que:
Pero x2 es
precisamente S2 y, de esta forma, ya hemos demostrado que S2 = (1/2)·S1.
El proceso sería
análogo si se repitiera con el cuadrado 2 y el 3, con el 3 y el 4, y así sucesivamente.
Luego, se cumple que:
Sn = (1/2)·Sn-1
De esta forma, se ha
probado que S1, S2, S3,… Sn, es una
progresión geométrica de razón 1/2.
