Problema 138

Se tiene un número de tres cifras. Si el 3 que contiene se cambia por un 7, y el 7 que contiene se cambia por un 5, la mitad del número que resulta es 3 unidades mayor que el número inicial.

¿Cuál es ese número inicial?

Solución:

El número nuevo, que será de tres cifras, contiene un 7 y un 5. Para que su mitad sea un número entero, ha de ser par y, por tanto, su última cifra también tiene que ser par.

Así, el número nuevo ha de ser de la forma 75a o de la forma 57a.

Entonces, el número inicial sería 37a o 73a.

-El caso 73a se descarta, ya que la mitad de 57a nunca podría empezar por 7.

-En el caso 37a, debe cumplirse que la mitad de 75a sea igual a 37a más 3 unidades. Es decir:

a + 5·10 + 7·100 = 2·(a + 7·10 + 3·100 + 3)

750 + a = 2·(373 + a)

750 + a = 746 + 2a

750 – 746 = a

a = 4

Por tanto, el número inicial es el 374.

Problema 98

Tenemos 48 cerillas distribuidas en 3 montones diferentes.

Si del primer montón pasamos al segundo tantas cerillas como hay en éste, luego del segundo al tercero tantas como hay en el tercero y, por último, del tercero al primero tantas cerillas como ahora hay en éste, resulta que todos los montones tienen el mismo número de cerillas.

¿Cuántas cerillas había en un principio en cada montón?

Solución:

Si colocamos los pasos de un montón a otro en una tabla, tenemos la siguiente:

Como los tres montones tienen la misma cantidad de cerillas al finalizar el tercer paso, cada montón tiene ahora 16 cerillas. Por tanto, igualando cada término de la columna del último paso a 16, y resolviendo el sistema de ecuaciones que se obtiene, deducimos que:

 x = 22, y = 14 y z = 12

Estas son, respectivamente, las cerillas que había en el primero, segundo y tercer montón.

Problema 83

En uno de los expositores refrigerados de una confitería se muestra una serie de pasteles de los cuales 20 llevan nata en su composición, 25 llevan chocolate, 23 tienen crema y los 22 restantes tienen merengue.

Fijándose un poco más en los ingredientes que contienen, se observa que ocho de ellos llevan nata y chocolate; otros seis chocolate y crema; y otros diez, crema y merengue.

1. ¿Cuántos pasteles se muestran en dicho expositor?

2. ¿Cuántos llevan uno sólo de los ingredientes señalados?

3. ¿Cuántos llevan sólo nata?

4. ¿Y cuántos sólo crema?

Solución:

Para verlo fácilmente, utilizamos el esquema siguiente:

De él se deducen las siguientes respuestas:

1. En el expositor se muestran 12+8+11+6+7+10+12 = 66 pasteles.

2. Con sólo uno de los ingredientes hay 12+11+7+12 = 42 pasteles.

3. Contienen sólo nata 12.

4. Son 7 los que contienen sólo crema.

Problema 54

Luis está contando los cromos que tiene cuyo número es muy cercano a cien. Observa que si le regala uno a su hermano el número de cromos que le quedarían sería múltiplo de 8, pero que si es su hermano el que le regala un cromo a él, tendría un número de cromos múltiplo de 7. ¿Cuántos cromos tiene?

Solución:

Si llamamos x al número de cromos, x-1 es múltiplo de 8 y x+1 es múltiplo de 7.

Los múltiplos de 8 más cercanos a 100 son 96 y 104.

Si x-1 = 96, entonces x+1 = 98, que es múltiplo de 7.

Si x-1 = 104, entonces x+1 = 106, que no es múltiplo de 7.

Así, la opción posible es que x-1 sea 96, de donde se deduce que el número de cromos que tiene Luis es x = 97.

Alumnos con regalo

En una clase de 32 alumnos, como todos aprueban el curso con una nota media mayor o igual que bien, el instituto les hace regalos a cada uno de ellos. A cada alumno que ha obtenido la calificación de BIEN se le regalan 3 bolígrafos; a cada uno de los que ha obtenido NOTABLE se le entregan  5 bolígrafos y un cuaderno; y a cada uno de los que ha sacado SOBRESALIENTE se les entregan 6 bolígrafos, un cuaderno y una carpeta.

Si el número de regalos que se les ha entregado en total es 174 y se sabe que el número de alumnos que ha obtenido SOBRESALIENTE es dos unidades menor que el número de los que han sacado NOTABLE, calcula el número de alumnos que ha obtenido cada una de las calificaciones.

Solución:

Recopilamos los datos en la tabla siguiente:

De esta forma, se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolvemos el sistema:

Por tanto, y = 11, y  x=34 – 2·11= 12.

Luego, 12 alumnos han obtenido una calificación de bien, 11 de notable y 9 de sobresaliente.

Un número más porciones

La suma de un número, su mitad, su quinta parte y su doble es 74. ¿De qué número se trata?

Solución:

Sea x el número buscado. La ecuación que se obtiene es:

Resolvemos esta ecuación:

Así, el número buscado es el 20.