Optimización

Con planchas cuadradas de cartón de 400 cm² cada una, se van a construir cajas sin tapa. Para ello, se recortarán cuadrados iguales en cada vértice de una plancha.

¿Cuál debe ser el lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?

Solución:

Como el área de cada una de las planchas cuadradas es 400 cm², se deduce que la longitud de su lado es 20 cm. Por lo tanto, la figura que se obtiene al recortar los cuadrados de lado x en las esquinas es la siguiente:

La base de la caja que se va a formar es un cuadrado de 20-2x cm de lado y la altura de la caja será x cm. Así, la función que se quiere maximizar, su volumen, es:

f(x) = (20 – 2x)²·x = (400 + 4x² – 80x)x = 4x³ – 80x² + 400x

Derivamos e igualamos a cero, buscando extremos relativos:

f´(x) = 12x² – 160x + 400 = 0; 3x² – 40x + 100 = 0

Resolvemos la ecuación:

Las dos soluciones de la ecuación son x = 10 y x = 20/6 = 10/3, pero la primera no tiene sentido en este problema.

Para ver si en la segunda se alcanza el máximo, calculamos la segunda derivada de la función:

f´´(x) = 24x – 160

f´´(40/3) = 24·(10/3) – 160 = 80 -160 < 0

De esta forma, queda comprobado que si recortamos un cuadrado de lado 10/3 cm en las esquinas, el volumen de la caja será máximo.

Optimización

El dueño de una papelería observa que si el precio que cobra por una fotocopia es de x céntimos de euro, sus beneficios vienen dados por la expresión B = - x² + 100x – 2300, en euros al día.

a)¿Qué beneficio obtiene si vende las fotocopias a 40 céntimos?

b)¿Qué precio debe poner a cada fotocopia para obtener el máximo    beneficio?

c)¿Cuál será ese beneficio máximo?

Solución:

a)Si las vende a 40 céntimos, el beneficio es:

B(40) = - 40² + 100·40 – 2300 = - 1600 + 4000 – 2300 = 100 euros diarios

b) Derivamos la función B.

B´= - 2x + 100

B´= 0 ⟺ - 2x + 100 = 0 ⟺ x = 50

B´´(50) = - 2 < 0 ⟹ en x = 50 se alcanza un máximo

Luego, debe poner a 50 céntimos cada fotocopia para obtener el máximo beneficio.

c) Ese beneficio máximo es:

B(50) = - 50² + 100·50 – 2300 = - 2500 + 5000 – 2300 = 200 euros diarios.

Extremos relativos

Se sabe que la función f(x) = (x + a)(x² – 4), donde a es un número real, tiene un mínimo y un máximo relativo.

Si el máximo relativo se alcanza en x = -1/3, encuentra la abscisa del punto en el que se alcanza el mínimo relativo.

Solución:

La derivada de f(x) es:

f´(x) = (x² – 4)+(x + a)·2x = x² – 4 + 2x² + 2ax = 3x² + 2ax – 4

Como en x = - 1/3 se alcanza un máximo relativo, debe cumplirse la condición de que f´(- 1/3) = 0. Así, se tiene que:

3(-1/3)² + 2a(-1/3)- 4 = 0; 1/3 – 2a/3 – 4 = 0;

(1 – 2a)/3 = 4; 1 – 2a = 12; a = -11/2

Al ser a = -11/2, resulta que f´(x) = 3x² – 11x – 4, y esta función derivada se anula en los puntos que son solución de la siguiente ecuación:

De esta manera, los extremos relativos se alcanzan en los puntos de abscisa x₁ = 4 y x₂ = -1/3, y, como en x₂ hay un máximo, el mínimo relativo se alcanza en x = 4.

Optimización

En un triángulo isósceles de 18 cm de perímetro, ¿cuál debe ser la altura para que su superficie sea máxima?

En ese caso, ¿cuánto medirían los lados del triángulo?

Solución:

Consideramos el triángulo con la notación indicada en la figura.

Como el perímetro es 18 cm, sabemos que 2x + 2y = 18, lo que equivale a que x+y = 9. Luego y = 9 – x.

La función que queremos optimizar es su superficie, es decir, la función S = 2x·h/2 = x·h

Para dejar S en función de una sola variable, intentamos expresar x en función de la altura, para lo que utilizamos el teorema de Pitágoras:

x² + h² = y²; x² + h² = (9-x)²; x² + h² = 81 + x² – 18x;

h² – 81 = -18x; x= (81 – h²)/18

Así, ya podemos escribir la función de la forma siguiente:

Calculamos su derivada e igualamos a cero:

Así, la superficie del triángulo es máxima cuando su altura es:

En este caso, los lados del triángulo miden:

Luego, se observa que se trata de un triángulo equilátero, cuyos lados miden 6 cm.