Problema 137

Calcula el perímetro del círculo, sabiendo que el perímetro del rombo que se traza uniendo los puntos medios de los lados del rectángulo inscrito es 100 cm.

Solución:

Trazamos la horizontal que divide al rombo por la mitad.

Si trasladamos los lados del rombo deslizándose sobre dicha horizontal, se llega a la figura siguiente:

En este dibujo se ve claramente que el perímetro del rombo coincide con la suma de las dos diagonales del rectángulo. Y cada una de estas diagonales es un diámetro de la circunferencia.

Como el perímetro del rombo 100 cm, deducimos que dicho diámetro mide 50 cm.

Así, se obtiene que el perímetro del círculo es:

Problema 130

a)Si el área del cuadrado interior es 4 m² inferior al área de la región coloreada de azul, calcula el área del cuadrado mayor en función del área del cuadrado menor.

b)Si el lado del cuadrado mayor midiese 10 m más que el lado del cuadrado menor, ¿cuál sería el perímetro del cuadrado menor? 

Solución:

a)Si llamamos C al lado del cuadrado mayor y c al del cuadrado menor, tenemos que la superficie de la región coloreada de azul es  A = C² – c².

Sabemos que esta superficie es 4 m² mayor que la superficie del cuadrado menor; es decir, que C² – c² = c² + 4.

Luego C² = 2 c² + 4.

b)Si C es 10 m mayor que c, sustituyendo en la expresión obtenida en el apartado anterior, obtenemos que:

(c + 10)² = 2 c² + 4

Resolvemos esta ecuación:

Esta ecuación tiene dos soluciones posibles, c = 24  y c = -4.

Como c es la longitud del lado, solo tiene sentido la solución positiva, por lo que el lado del cuadrado menor mide 24 m.

Así, su perímetro es de 96 m.

Problema 110

En un triángulo´equilátero, dividimos cada lado en tres partes iguales, de tal forma que en la parte central de cada lado construimos un triángulo equilátero cuyos lados tendrán la misma longitud que la parte sobre la que hemos construido el nuevo triángulo. Este proceso lo puedes ver en el dibujo siguiente. 

a)Si el triángulo equilátero del que partimos tenía de perímetro 81, ¿cuál es el perímetro de la figura que hemos obtenido, y qué relación guarda con el perímetro del triángulo original?

b)Si ahora repetimos en la figura que hemos obtenido el proceso seguido con el triángulo original, obtenemos la figura que se muestra en el dibujo siguiente.

¿Podrías decir cuál es el perímetro de la nueva figura y qué relación tiene con la figura de la que la hemos obtenido?, ¿qué relación tiene el perímetro de esta figura con el del triángulo inicial?

c)Repite el proceso seguido anteriormente en esta última y consigue la figura siguiente, ¿qué perímetro tendrá la figura que has conseguido?, ¿qué relación guarda con el perímetro del triángulo inicial?

d)Si el triángulo original del que partimos tiene de perímetro P, ¿cuál será el perímetro de la figura que conseguimos al repetir el proceso ocho veces?¿ y si repetimos el proceso n veces?

Solución:

a)El perímetro de la nueva figura es 108, ya que cada lado mide 9 centímetros. La relación que guarda con el perímetro del triángulo original es: 108 = (4/3) · 81

b)El perímetro de la segunda figura es 144, ya que tiene 48 lados de 3 centímetros de longitud. Este perímetro es 144 = (4/3)² · 81

c)El perímetro de la figura construida, siguiendo este proceso, será de 192 centímetros, ya que tiene 192 lados de 1 centímetro de longitud.

La relación que existe entre este último perímetro y el del triángulo inicial es: 192 =  (4/3)³ · 81

d)Partiendo de un triángulo de perímetro P, si repetimos este proceso ocho veces, su perímetro verifica: P₈ = (4/3)⁸ · P

Si repetimos el proceso n veces, a partir de un triángulo de perímetro P, tenemos que su perímetro es: P_n = (4/3)ⁿ · P

Problema 108

La figura siguiente está formada por un triángulo escaleno y un cuadrado, ambos del mismo perímetro.

Si la superficie del cuadrado es 25 dm², ¿cuál es el perímetro de la figura?

Solución:

Como la superficie del cuadrado es 25 dm², su lado mide 5 dm y, por tanto, su perímetro es 20 dm.

El perímetro del triángulo es también 20 dm y, como se observa en la figura siguiente, ambos polígonos comparten un lado de 5 dm.

Así, el perímetro de la figura es 2·20 – 2·5 = 30 dm.

Problema 107

La siguiente figura está formada por un triángulo equilátero, un rectángulo y un cuadrado, los tres con el mismo perímetro.

Si el área del cuadrado es 144 cm², calcula el área de la figura completa.

Solución:

Como el área del cuadrado es 144 cm², sabemos que su lado mide 12 cm y, por tanto, su perímetro es 48 cm.

Como el triángulo es equilátero y su perímetro es igual al del cuadrado, resulta que cada lado del triángulo mide 16 cm.

La base del rectángulo coincide con el lado del triángulo y, si llamamos x a su altura, como su perímetro también es 48 cm, podemos deducir que 32 + 2x = 48, de donde obtenemos que x = 8 cm.

El área de la figura es la suma de las áreas de los tres polígonos.

Área del cuadrado = 144 cm²

Área del rectángulo = 16 · 8 = 128 cm²

Para calcular el área del triángulo debemos hallar su altura, para lo que utilizamos el teorema de Pitágoras:

Ya podemos calcular el área del triángulo:

Así, el área de la figura completa es:

Triángulo isósceles

En un triángulo isósceles, sabemos que cada uno de los lados iguales mide 1 cm menos que el lado desigual.

Sabiendo que su perímetro es 16 cm, calcula la altura y el área del triángulo.

Solución:

Suponemos que cada una de las mitades en las que la altura divide al lado desigual es x. De esta forma, cada uno de los lados iguales es 2x–1.

Sabemos que el perímetro del triángulo es:

P = 2x + 2(2x – 1) = 6x – 2 = 16 cm

De esta expresión podemos despejar x = 3 cm.

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

x² + h² = (2x – 1)²

3² + h² = 5²

h² = 25 – 9 = 16; h = 4 cm

Ya podemos calcular el área del triángulo:

Por tanto, la altura del triángulo mide 4 cm y su área 12 cm².

Problema 92

Se tiene un círculo de cartulina cuyo radio mide diez centímetros. Se le recortan seis segmentos circulares iguales, de forma que el círculo se convierte en un hexágono regular.

¿Cuánto mide el perímetro de dicho hexágono?

¿Qué superficie de cartulina se ha recortado?

Solución:

Se observa que el hexágono obtenido está formado por seis triángulos equiláteros, cuyo lado coincide con el radio del círculo inicial. 

Por tanto, el perímetro del hexágono mide 60 centímetros.

Utilizando el teorema de Pitágoras es fácil calcular el área de un triángulo equilátero de lado 10 centímetros:

De esta forma, la superficie del hexágono es:

El área del círculo inicial es:

Así,la cartulina recortada tiene:

Problema 77

Tenemos un prisma cuya base es un cuadrado de lado 10 cm.

Enrollamos una cuerda de un metro de longitud a su alrededor empezando en el vértice A y terminando en el vértice B tras dos vueltas completas, tal y como se muestra en la figura.

¿Cuál es la altura del prisma? 

Solución:

Giramos la figura:

Si cortamos por la arista que une los vértices A y B, y por las aristas de las bases, y extendemos la figura sobre el plano, nos quedaría de la forma siguiente:

La longitud de la cuerda coincide con la suma de las hipotenusas de los triángulos rectángulos AAM y MMB, ambas iguales.

En cada uno de estos triángulos, la longitud del cateto mayor es el perímetro de cada base del prisma, es decir, 40 cm; la del cateto menor es la mitad de la altura del prisma; y la hipotenusa es la mitad de la longitud de la cuerda, luego 50 cm.

Si llamamos x a la mitad de la altura del prisma, y aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos que 50² = 40² + x². Es decir, se cumple que x² = 900, y por tanto, x = 30 cm.

Como consecuencia, la altura del prisma es 60 cm.

Problema 76

Si en la siguiente figura el área de la zona coloreada de rosa es 144π cm², calcula el perímetro de la zona coloreada de verde.

Solución:

Si trazamos el diámetro del círculo, se obtiene la figura siguiente, en la que se observa que dicho diámetro queda dividido en cuatro partes iguales y a cada una de ellas la llamamos a.

Ya que, en el cuadrante superior izquierdo, la zona verde tiene la misma superficie que la zona rosa del cuadrante inferior izquierdo, y que, en el cuadrante inferior derecho, la zona azul tiene la misma que la zona rosa del cuadrante superior derecho, se deduce que el área de la zona coloreada de rosa es igual a la de un círculo completo de radio a. Por tanto, 144π = π·a² y, de esta igualdad se despeja a = 12 cm.

El perímetro de la zona verde es igual a:

P = perímetro de semicírculo de diámetro 4a + 2· perímetro de semicírculo de diámetro a + perímetro de semicírculo de diámetro 2a

Luego:   

P =(1/2)·π·4a + 2·(1/2)·π·a + (1/2)· π·2a =

= 2aπ + aπ + aπ = 4aπ = 4·12·π = 48π cm

Se observa que coincide con el perímetro del círculo de la figura (de diámetro 4a = 48 cm).

Optimización

En un triángulo isósceles de 18 cm de perímetro, ¿cuál debe ser la altura para que su superficie sea máxima?

En ese caso, ¿cuánto medirían los lados del triángulo?

Solución:

Consideramos el triángulo con la notación indicada en la figura.

Como el perímetro es 18 cm, sabemos que 2x + 2y = 18, lo que equivale a que x+y = 9. Luego y = 9 – x.

La función que queremos optimizar es su superficie, es decir, la función S = 2x·h/2 = x·h

Para dejar S en función de una sola variable, intentamos expresar x en función de la altura, para lo que utilizamos el teorema de Pitágoras:

x² + h² = y²; x² + h² = (9-x)²; x² + h² = 81 + x² – 18x;

h² – 81 = -18x; x= (81 – h²)/18

Así, ya podemos escribir la función de la forma siguiente:

Calculamos su derivada e igualamos a cero:

Así, la superficie del triángulo es máxima cuando su altura es:

En este caso, los lados del triángulo miden:

Luego, se observa que se trata de un triángulo equilátero, cuyos lados miden 6 cm.

Optimización

Se quiere cercar  un terreno rectangular con 60 m de valla de forma que la superficie encerrada sea máxima. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno?

Solución:

Sean x e y el largo y el ancho del terreno, respectivamente. 

Como la valla que se va a utilizar mide 60 m, dicha longitud ha de coincidir con el perímetro del terreno y, de esta forma, sabemos que se debe cumplir 2x + 2y = 60, lo que equivale a que x + y = 30.

Es decir, y = 30 – x.

El área del rectángulo, en este caso el terreno, es S = x·y.

Como esta superficie debe ser máxima, la función que vamos a optimizar es S(x) = x·(30 – x) = 30x – x².

Derivamos la función y la igualamos a cero:

S´(x) = 30 – 2x = 0; 30 = 2x; x = 15

Calculamos la segunda derivada de la función en x = 15:

S´(x) = - 2, para cualquier x

Por tanto, se cumple que S´(15) = 0 y S´´(15) < 0, lo que nos asegura que la función alcanza el máximo en x = 15. Y para este valor de x, se tiene que y = 30-15 = 15.

Luego el terreno de mayor superficie encerrada por la valla es un cuadrado de lado 15 m.

Problema 74

Calcula el área y el perímetro la región coloreada de rosa, sabiendo que el área da cada cuadradito es 4 cm².

Solución:

Como el área de cada cuadradito es 4cm², su lado mide 2 cm. Descomponemos la figura en las siguientes regiones:

El área de la región a es igual a la suma de las áreas de las regiones d y f. De la misma forma, el área de la región c es igual a la suma de las áreas de las regiones e y g.

Por tanto, el área de la figura coloreada de rosa es la misma que la del rectángulo formado por 8 cuadraditos de 4 cm²; es decir, que el área buscada es 32 cm².

El perímetro de la figura está formado por dos semicircunferencias de radio 2 cm (regiones a y c) y por cuatro cuadrantes de circunferencia de radio 2 cm (regiones d, e, f y g). De esta forma, equivale a la longitud de dos circunferencias de radio 2 cm; es decir, que el perímetro de la figura mide 2·2·π·2 = 8π cm.

Problema 68

Sabiendo que el perímetro del hexágono es 60 cm, calcula el área de la región coloreada de negro.

Solución:

Como el hexágono es regular, cada uno de sus lados mide 10 cm y, además, se descompone en seis triángulos equiláteros de lado 10cm, como se ve en la figura siguiente.

Cada uno de los semicírculos de la figura mide 10 cm de diámetro, por lo que el área de los seis equivale a la de tres círculos de radio 5 cm.

Hallando la longitud de la apotema del hexágono tendremos la longitud del radio del círculo exterior, coloreado de negro, pues será dicha apotema más el radio de un semicírculo. Y dicha apotema coincide con la altura de cada uno de los triángulos.

Aplicando el teorema de Pitágoras, se deduce que dicha altura es:

Ahora podemos calcular todas las superficies que nos interesan:

El área de la región coloreada de negro será:

Problema 60

Calcula el perímetro de la estrella, sabiendo que:

Solución:

Como se trata de un hexágono regular, se descompone en seis triángulos equiláteros de lado 6 cm.

Si llamamos C al punto medio del lado del hexágono, tenemos que la longitud del segmento BC es la de AB menos la apotema del hexágono.

Por tanto, obtenemos que:

Aplicando el teorema de Pitágoras, calculamos la longitud de cada uno de los doce lados que componen el perímetro de la estrella:

Así, el perímetro de la estrella es: