Problema 156

Si una pieza de tela es cortada en trozos de 3 metros, sobrarían 120 centímetros de tela.

Si la pieza hubiese tenido el triple de longitud, ¿habría sobrado algún trozo de tela?

Solución:

Llamando n al número de trozos de 3 metros que se han obtenido al cortar la pieza, deducimos fácilmente que la longitud de dicha pieza es 300·n + 120 cm.

Si su longitud hubiese sido el triple de la original, dicha longitud sería la siguiente:

3·(300·n + 120) = 900·n + 360 = 900·n + 300 + 60 =

= 300·(3·n + 1) + 60

Esto indica que se habrían obtenido 3·n + 1 trozos de 3 metros y que sobraría un trozo de tela de 60 centímetros.

Problema 90

Se tiene un lapicero cuya longitud total es de 14 centímetros (incluyendo su punta recién afilada).

Se ha observado que, cada vez que se afila el lápiz, éste se acorta una longitud de  cinco milímetros y que, recién afilado, su parte cónica (incluida la mina) tiene una longitud de 15 milímetros.

¿Cuántas veces será necesario afilar este lápiz para que el volumen de su parte cónica coincida con un sexto del volumen de su parte cilíndrica?

Solución:

Utilizamos el siguiente dibujo:

Se observa que el radio de la parte cilíndrica coincide con el de la base de su parte cónica.

Llamando r a dicho radio y h a la altura de la parte cilíndrica y, teniendo en cuenta el enunciado del problema, podemos plantear la siguiente ecuación:

Al resolverla, se deduce que h = 30 mm = 3 cm.

Del dibujo se deduce que la longitud inicial de la parte cilíndrica es 12,5 cm, por lo que tendrá que perder 9,5 centímetros.

Así, es necesario afilar el lápiz 19 veces.

Actividad con geoplano triangular

Se considera en esta actividad un geoplano triangular, sobre el que se trazan triángulos equiláteros.

Llamamos unidad de longitud a la distancia entre dos puntos consecutivos del geoplano, tal y como se indica en las figuras siguientes:

Y llamamos unidad de superficie al área encerrada por un triángulo equilátero cuyo lado mide la unidad de longitud.

Observa los siguientes triángulos:

Haciendo un recuento de los puntos por los que pasa cada uno de los triángulos y teniendo en cuenta la superficie de cada uno de ellos, podemos empezar a rellenar la tabla que se presenta a continuación. Complétala tú.

Solución:

La tabla, ya completada, queda de la forma siguiente:

Trapecio incompleto

En un trapecio de altura 5 cm, se sabe que la longitud de su base mayor es cuatro veces la de su base menor. Si el área del trapecio es 50 centímetros cuadrados, ¿cuáles son las longitudes de sus bases?

Solución:

El área del trapecio se calcula mediante la expresión A =h·(B+b)/2, siendo h la altura y B y b las bases mayor y menor, respectivamente.

Si llamamos x a la longitud de la base menor, la de la otra base será 4x y, así obtenemos la ecuación siguiente:

La resolvemos:

Por tanto, sus bases miden 4 cm y 16 cm.