Problema 149

Si el diámetro de cada uno de los tres círculos mide 10 cm y, sabiendo que son tangentes dos  a dos, encuentra la superficie de la región encerrada por ellos, que aparece coloreada de negro en la figura.

Solución:

Si unimos mediante segmentos los centros de los círculos, obtenemos la figura siguiente:

En ella observamos que el triángulo que aparece es equilátero y cada uno de sus lados mide 10 cm, al coincidir con el doble del radio de cada círculo.

Calculamos el área de dicho triángulo, utilizando previamente el teorema de Pitágoras para calcular su altura:

Así, el área del triángulo es:

Por otro lado, el triángulo, al ser equilátero, determina en cada círculo un sector circular de 60º de amplitud. El área de cada uno de estos sectores es:

El área de la región buscada coincide con la del triángulo menos la de los tres sectores circulares iguales. Por tanto:

Problema 137

Calcula el perímetro del círculo, sabiendo que el perímetro del rombo que se traza uniendo los puntos medios de los lados del rectángulo inscrito es 100 cm.

Solución:

Trazamos la horizontal que divide al rombo por la mitad.

Si trasladamos los lados del rombo deslizándose sobre dicha horizontal, se llega a la figura siguiente:

En este dibujo se ve claramente que el perímetro del rombo coincide con la suma de las dos diagonales del rectángulo. Y cada una de estas diagonales es un diámetro de la circunferencia.

Como el perímetro del rombo 100 cm, deducimos que dicho diámetro mide 50 cm.

Así, se obtiene que el perímetro del círculo es:

Diferencia de áreas.

Sabiendo que el lado del cuadrado de color amarillo mide 8 cm, calcula el área de la región coloreada de verde.

Solución:

Si  el lado del cuadrado amarillo mide 8 cm, aplicando el teorema de Pitágoras, podemos calcular su diagonal, que coincide con el diámetro del círculo.

Además, la diagonal del cuadrado verde mide lo mismo que el lado del cuadrado amarillo, por lo que también podemos calcular la longitud de su lado. Si llamamos x al lado del cuadrado verde, se cumple que:

El área de la región verde es:

A = A _círculo – A _{cuadrado amarillo} + A _{cuadrado verde}

Por tanto:

Progresión de círculos y cuadrados,

Si consideramos un círculo de radio r cualquiera, inscribimos en él un cuadrado, en éste inscribimos otro círculo y en este círculo otro cuadrado y, así sucesivamente, obtenemos la figura siguiente.

Demuestra que si llamamos S₁ al área de las regiones marcadas con el número 1, S₂ al  área de las marcadas con el número 2, S₃ a la de las marcadas con el 3, y así sucesivamente, se cumple que la sucesión S₁, S₂, S₃,…… es una progresión geométrica.

Solución:

En el enlace que aparece al final de la solución del problema, se puede ver que, en efecto, se cumple: 

Por tanto, S₂ = (1/2)· S₁.

Repitiendo el mismo proceso, se obtiene que S₃ = (1/2)· S₂ y, sucesivamente, que S_n = (1/2)· S_n-1.

Así, la sucesión S₁, S₂, S₃,…… es una progresión geométrica de razón 1/2.

Aquí está el enlace mencionado:

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/06/circulos-y-cuadrados-inscritos.html

Círculos y cuadrados inscritos.

Demuestra que la superficie de las regiones marcadas con la letra a en la figura siguiente, es el doble de la superficie de las marcadas con la letra b.

Solución:

Llamamos r al radio del círculo exterior.

El radio del círculo mayor es r, por lo que la diagonal del cuadrado mayor, inscrito en dicho círculo, es 2r. Utilizamos el teorema de Pitágoras llamando l al lado de este cuadrado:

l² + l² = (2 r)²; 2 l² = 4 r²; l² = 2 r²

El área del círculo mayor menos el área del cuadrado mayor será la superficie de las regiones marcadas con la letra a. Por tanto, dicha superficie es:

El lado del cuadrado mayor coincide con el diámetro del círculo menor, de lo que podemos deducir el radio de éste:

De esta forma, podemos calcular la superficie de este círculo:

Como el diámetro del círculo menor coincide con la diagonal del cuadrado menor, podemos utilizar de nuevo el teorema de Pitágoras, llamando l´ al lado de dicho cuadrado, y calcular su área:

Así, como el área del círculo menor menos el área del cuadrado menor es la superficie de las regiones marcadas con la letra b, dicha superficie es:

Por tanto, queda probado que la superficie de las regiones marcadas con la letra a es el doble de la superficie de las marcadas con la letra b.

Cuadrados y círculos.

Halla el área de las regiones coloreadas de azul sabiendo que el perímetro exterior de la figura es 16 cm.

Solución:

Como el perímetro es 16 cm, el lado del cuadrado mayor mide 4 cm y el radio del círculo mayor 2 cm.

La zona azul comprendida entre ellos tendrá una superficie igual a la de dicho cuadrado menos la del círculo. Es decir:

El cuadrado inscrito en el círculo anterior tiene una diagonal de 4 cm (al coincidir con su diámetro) y podemos hallar la medida de sus lados utilizando el teorema de Pitágoras:

Así, tenemos calculado el lado de dicho cuadrado que, además, coincide con el diámetro del círculo menor de la figura. Es decir:

La zona azul comprendida entre ellos tendrá una superficie igual a la de dicho cuadrado menos la del círculo. Es decir:

Por tanto, el área de todas las regiones coloreadas de azul es:

Área

Sabiendo que la superficie del cuadrado es 144 m², halla el área de la región coloreada de verde.

Solución:

Como la superficie del cuadrado es 144 m², su lado mide 12 m.

En la mitad superior del cuadrado hay dos cuadrantes de un círculo de radio 12/2 = 6 m o, lo que es lo mismo, una región rosa cuya área equivale a la mitad de la de un círculo de radio 6 m.

La región coloreada en rosa en la mitad inferior del cuadrado está compuesta por un círculo de radio 12/4 = 3 m y por dos semicírculos de radio 3 m; es decir que la región rosa de la parte inferior tiene un área equivalente a la de dos círculos de radio 3 m.

La región verde tendrá como superficie la que se obtiene al restar a la del cuadrado las áreas mencionadas anteriormente. Es decir:

Por tanto:

Problema 103

Sabiendo que el radio del semicírculo mayor mide 12 cm, halla el radio del círculo menor. 

Solución:

Consideramos el centro del círculo menor, O, y los centros de los semicírculos pequeños, M y N, y los unimos, obteniendo un triángulo isósceles, tal y como se muestra en la figura siguiente:

La base de dicho triángulo coincide con el diámetro de los semicírculos pequeños, es decir, mide 12 cm.

Si llamamos r al radio del círculo menor, la altura de dicho triángulo es 12 – r, pues el radio del semicírculo mayor mide 12 cm. Y cada uno de los lados iguales del triángulo mide r + 6, ya que el radio de los semicírculos pequeños mide 6 cm.

Utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

(12 – r)² + 6² = (r + 6)²

144 + r² – 24 r + 36 = r² + 36 + 12 r

144 = 36 r

r = 144 / 36 = 4

Así, el radio del círculo menor mide 4 cm.

Combinación de superficies

Calcula el área de la figura coloreada de blanco, en función del lado del cuadrado.

Solución:

Si llamamos x al lado del cuadrado, su área es x².

Consideramos la figura con las siguientes divisiones:

En la mitad inferior de la figura, se muestran dos cuadrantes de un círculo de radio x/2, coloreados en rosa. La suma de sus áreas es:

En la mitad superior de la figura, la región coloreada de rosa tiene la misma superficie que la coloreada de blanco. Ambas coinciden con la mitad de la superficie de un rectángulo de base x y altura x/2. Es decir, la superficie en rosa de dicha parte, es:

Concluimos que el área de la figura coloreada en blanco es:

Áreas combinadas

Calcula el área de la figura coloreada.

Solución:

El área de la figura está compuesta por la de un cuadrante de un círculo de radio 2 cm, más la de un cuadrado de lado 4 cm, menos la de un triángulo isósceles de 2 cm de base y 2 cm de altura.

Así, el área de la figura coloreada es: