Polinomios.

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Definición y clasificación de polinomios.

Valor numérico de un polinomio.

Suma y resta de polinomios.

Multiplicación de polinomios.

División de polinomios.

Ejercicios resueltos de polinomios.

Ejercicios resueltos de polinomios.

1. Clasifica los polinomios siguientes según su grado y el número de términos que lo componen:

a) 5 x⁴ + 2 x² – 7

b) - 3 x + 7 x² – x³ + 5

c) 5 x³ – 6 x

d) 18 x⁶

e) 6 + 8 x²

Solución:

a) Es un trinomio de cuarto grado.

b) Es un cuatrinomio de tercer grado.

c) Es un binomio de tercer grado.

d) Es un monomio de sexto grado.

e) Es un binomio de segundo grado.

2. Calcula los valores de a y b para que sean iguales los polinomios P(x) y Q(x) siguientes:

P(x) = 6 + 2 a x² – 8 x³ + 9 x⁴

Q(x) = 3 b + 8 x² – 4 b x³ + 9 x⁴

Solución:

Para que sean iguales, han de ser iguales entre sí todos los coeficientes correspondientes a términos del mismo grado. Por tanto, debe cumplirse que:

6 = 3 b; 2 a = 8; - 8 = - 4 b

Despejando en las condiciones anteriores, se obtiene fácilmente que a = 4 y b = 2.

3. Halla el valor numérico del siguiente polinomio en los valores   x = 3 y en x = - 1.

P(x) = 2 x³ – 3 x² – 7 x + 10

Solución:

El valor numérico en x = 3 es:

P(3) = 2·3³ – 3·3² – 7·3 + 10 = 54 – 27 – 21 + 10 = 16

El valor numérico en x = - 1 es:

P(- 1) = 2·(- 1)³ – 3·(- 1)² – 7·(- 1) + 10 =

= 2·(- 1) – 3·1 – 7·(- 1) + 10 = - 2 – 3 + 7 + 10 = 12

4. ¿Cuánto valdrá la suma de los coeficientes del polinomio que resulta al efectuar la siguiente multiplicación?

(6 x³ – 2 x² + 5 x – 6)·(-5 x² + 7 x + 1)

Solución:

Basta para resolver el ejercicio tener en cuenta que la suma de los coeficientes de un polinomio coincide con el valor numérico de dicho polinomio en x = 1.

Por tanto:

(6·1 – 2·1 + 5·1 – 6)·(- 5·1 + 7·1 + 1)=

= (6 -2 + 5 – 6)·(- 5 + 7 + 1) = 3·3 = 9

5. Efectúa:

a)4 x³ · (- 3 + 3 x + 5 x³)

b)- 3 x² · (4 x² – 3 x³ – 2 x⁴)

Solución:

a)4 x³ · (- 3 + 3 x + 5 x³) = - 12 x³ + 12 x⁴ + 20 x⁶

b)- 3 x² · (4 x² – 3 x³ – 2 x⁴) = - 12 x⁴ + 9 x⁵ + 6 x⁶

6. Siendo P(x) = 3 x² – 4 x + 6 y Q(x) = 5 x – 3, realiza las operaciones siguientes:

a) P(x) + Q(x)

b) Q(x) – P(x)

c) 3·P(x) + 4·Q(x)

d) P(x) · Q(x)

Solución:

a) P(x) + Q(x) = (3 x² – 4 x + 6) + (5 x – 3)=

   = 3 x² – 4 x + 5 x + 6 – 3 = 3 x² + x + 3

b) Q(x) – P(x) = (5 x – 3) - (3 x² – 4 x + 6)=

   = 5 x – 3 - 3 x² + 4 x – 6 = - 3 x² + 9 x – 9

c) 3·P(x) + 4·Q(x) = 3·(3 x² – 4 x + 6) + 4·(5 x – 3)=

   = 9 x² – 12 x + 18 + 20 x – 12 = 9 x² + 8 x + 6

d) P(x) · Q(x) = (3 x² – 4 x + 6) · (5 x – 3)=

   = (3 x² – 4 x + 6)· 5 x + (3 x² – 4 x + 6)·(– 3)=

   = 15 x³ – 20 x² + 30 x – 9 x² + 12 x – 18 =

   = 15 x³ – 29 x² + 42 x – 18

7. Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) (2 + 4 x – 5 x²)·(- 4 x + 4 x²)

b) (x² – 6 x³)·(3 x + x² – 2 x³)

Solución:

a)(2 + 4 x – 5 x²)·(- 4 x + 4 x²)=

= 2·(- 4 x + 4 x²) + 4 x·(- 4 x + 4 x²) – 5 x²·(- 4 x + 4 x²)=

= - 8 x + 8 x² – 16 x² + 16 x³ + 20 x³ – 20 x⁴ =

= - 8 x – 8 x² + 36 x³ – 20 x⁴

b) (2 x² – 6 x³)·(4 x + x² – 2 x³)=

  = 2 x²·(4 x + x² – 2 x³) – 6 x³·(4 x + x² – 2 x³) =

  = 8 x³ + 2 x⁴ – 4 x⁵ – 24 x⁴ – 6 x⁵ + 12 x⁶ =

  = 8 x³ – 22 x⁴ - 10 x⁵ + 12 x⁶

8. Multiplica los polinomios siguientes:

P (x) = 5 + 3 x + 5 x² – 4 x³

Q (x) = 1 + 2 x² – 3 x³

Solución:

9. Efectúa la siguiente división:

(8 x³ – 22 x⁴ - 10 x⁵ + 12 x⁶):( 2 x² – 6 x³)

Solución:

10. Efectúa la siguiente división:

(– 20 x⁴ + 36 x³ – 8 x² - 12 x):(– 5 x² + 4 x + 2)

Solución:

División de polinomios.

División de un polinomio entre un número real.

Para dividir un polinomio P (x) entre un número real m se divide cada uno de los coeficientes de P (x) entre m.

Es decir, si P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se tiene que:

P (x): m = (a₀ /m) + (a₁ /m) x + (a₂ /m) x² + … + (a_n /m) xⁿ

Ejemplos:

a) (5 – 15 x + 25 x³ – 45 x⁵):(- 5) = - 1 + 3 x - 5 x³ + 9 x⁵

b) (3 + 12 x² + 7 x³ – 42 x⁴):3 = 1 + 4 x² + (7/3) x³ – 14 x⁴

División de dos monomios.

Para dividir entre sí dos monomios tenemos que dividir sus coeficientes y su variable, teniendo en cuenta las propiedades de las potencias. Es decir:

(a xⁿ):(b x^m) = (a/b) x^{n – m}

Ejemplos:

a) 8 x⁵ : 2 x² = (8/2) x^{5 – 2} = 4 x³

b) - 14 x⁷ : 2 x³ = (- 14/2) x^{7 – 3} = - 7 x⁴

c) 12 x⁶ : 15 x⁴ = (12/15) x^{6 – 4} = (4/5) x²

División de dos polinomios.

Para ver los sucesivos pasos que deben realizarse en la división de dos polinomios, nos apoyaremos en un ejemplo.

Vamos a dividir el polinomio 12 x⁵ + 12 x⁴ – 33 x² + 10 – 50 x entre 3 x² + 3 – 9 x.

Paso 1: ordenamos ambos polinomios de mayor a menor grado, teniendo en cuenta que, si no existe el término de algún grado intermedio en el dividendo, pondremos cero en el lugar correspondiente.

Paso 2: dividimos el monomio de mayor grado del dividendo entre el monomio de mayor grado del divisor (12 x⁵ : 3 x² = 4 x³) y colocamos el resultado en el cociente.

Paso 3: multiplicamos este monomio del cociente por cada monomio del divisor y colocamos los resultados cambiados de signo bajo cada monomio del mismo grado del dividendo y los sumamos con el dividendo.

Paso 4: Repetimos el mismo proceso (48 x⁴ : 3 x² = 16 x²), añadiendo el resultado al cociente, volviendo a multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados cambiados de signo.

Paso 5: Repetimos el mismo proceso (132 x³ : 3 x² = 44 x), añadiendo el resultado al cociente, volviendo a multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados cambiados de signo.

Paso 6: Repetimos el mismo proceso (315 x² : 3 x² = 105), añadiendo el resultado al cociente, volviendo a multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados cambiados de signo.

Aquí habríamos terminado la división, ya que el grado de 763 x es menor que el grado de 3 x².

Por tanto, la división ha resultado tener como cociente el polinomio 4 x³ + 16 x² + 44 x + 105 y como resto 763 x -305.

Multiplicación de polinomios.

Multiplicación de un polinomio por un número real.

Dado un polinomio cualquiera P (x), para multiplicarlo por un número real m, se multiplica cada uno de los coeficientes del polinomio por m. Es decir:

m· P (x) = m· (a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ) =

= m·a₀ + m·a₁ x + m·a₂ x² + … + m·a_n xⁿ

Ejemplos:

a)3·(5 – 2 x + 7 x³ – x⁵) = 15 – 6 x + 21 x³ – 3 x⁵

b)- 6·(- 2 + 5 x² – 4 x³) = 12 - 30 x² + 24 x³

c)(2/3)·( 6 x + 9 x² – 3 x³) = 4 x + 6 x² – 2 x³

Multiplicación de un monomio por un polinomio.

Para multiplicar un monomio M (x) = a_m x^m por un polinomio cualquiera P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se multiplica el monomio M (x) por cada uno de los monomios que componen el polinomio P (x), utilizando las propiedades de las potencias. Es decir:

M (x) · P (x) = (a_m x^m) · (a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ) =

= a_m · a₀ x^m + a_m · a₁ x^{m + 1} + a_m · a₂ x^{m + 2} + … + a_m · a_n x^{m + n}

Ejemplos:

a)3 x² · (- 5 + 2 x + 4 x³) = - 15 x² + 6 x³ + 12 x⁵

b)- 4 x³ · (x² – 2 x³ – 3 x⁴) = - 4 x⁵ + 8 x⁶ + 12 x⁷

Multiplicación de dos polinomios.

Para multiplicar dos polinomios P (x) y Q (x), se utiliza la propiedad distributiva de modo que multiplicamos cada uno de los monomios que componen P (x) por el polinomio Q (x). Es decir, que si P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se tiene que:

P (x) · Q (x) =

= a₀ · Q (x) + (a₁ x)· Q (x) + (a₂ x²)· Q (x) + … + (a_n xⁿ)· Q (x)

Ejemplos:

a) Multipliquemos P (x) = 3 + 4 x – 5 x²  y Q (x) = - 6 x + 4 x²

(3 + 4 x – 5 x²)·(- 6 x + 4 x²) =

= 3·(- 6 x + 4 x²) + 4 x·(- 6 x + 4 x²) – 5 x²·(- 6 x + 4 x²)=

= - 18 x + 12 x² – 24 x² + 16 x³ + 30 x³ – 20 x⁴ =

= - 18 x – 12 x² + 46 x³ – 20 x⁴

b) Multipliquemos P (x) = x² – 6 x³  y Q (x) = 3 x + x² – 2 x³

(x² – 6 x³)·(3 x + x² – 2 x³) =

= x²·(3 x + x² – 2 x³) – 6 x²·(3 x + x² – 2 x³) =

= 3 x³ + x⁴ – 2 x⁵ – 18 x³ – 6 x⁴ + 12 x⁵ =

= - 15 x³ – 5 x⁴ + 10 x⁵

En ocasiones, especialmente cuando queremos multiplicar polinomios con muchos términos, es más práctico colocarlos ordenados respecto de su grado uno encima de otro y multiplicar todos sus términos entre sí (como en la multiplicación de dos números de varias cifras), teniendo cuidado de colocar los términos resultantes del mismo grado por columnas para poderlas sumar.

Ejemplo:

Vamos a multiplicar los polinomios P (x) = 7 + 2 x + 5 x² – 2 x³  y  Q (x) = 2 + 3 x² – 2 x³.

Suma y resta de polinomios.

Llamamos monomios semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal (las mismas variables y elevadas a las mismas potencias).

Ejemplos:

a)Son semejantes los monomios M (x) = 8 x² y N (x) = - 6 x².

b)Son semejantes los monomios M (x) = 5 a² b³ y N (x) = 2 a² b³.

c)No son semejantes los monomios M (x) = x² z³ y N (x) = 2 x³ z².

Cuando dos o más monomios son semejantes, los podemos sumar o restar teniendo en cuenta que se puede extraer como factor común la parte literal de todos ellos.

Así, 4 x³ + 5 x³ - 6 x³ = (4 + 5 - 6) x³ = 3 x³.

Por tanto, al sumar dos o más monomios semejantes se obtiene otro monomio semejante a ellos y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de todos ellos.

Teniendo en cuenta lo anterior, deducimos que para sumar dos o más polinomios en una variable debemos sumar entre sí los monomios del mismo grado que los componen.

Ejemplo:

Sean P (x) = 7 – 8 x + 5 x³ y Q (x) = 6 x + 5 x² – x³ + 4 x⁴.

Sumando los monomios del mismo grado entre sí, deducimos que la suma de los polinomios es:

P (x) + Q (x) = 7 + (- 8 + 6) x + 5 x² + (5 – 1) x³ + 4 x⁴ =

= 7 – 2 x + 5 x² + 4 x³ + 4 x⁴

Teniendo en cuenta que la suma de números reales es conmutativa, es fácil observar que la suma de polinomios cumple la propiedad conmutativa.

Ejemplo:

Si nos fijamos en el ejemplo anterior, tenemos que:

P (x) + Q (x) = (7 – 8 x + 5 x³) + (6 x + 5 x² – x³ + 4 x⁴) =

= 7 + (- 8 + 6) x + 5 x² + (5 – 1) x³ + 4 x⁴ =

= 7 + (6 - 8) x + 5 x² + (- 1 + 5) x³ + 4 x⁴ =

= (6 x + 5 x² – x³ + 4 x⁴) + (7 – 8 x + 5 x³) = Q (x) + P (x)

También existe el elemento neutro para la suma de polinomios. Es el denominado polinomio nulo, es decir, aquel cuyos coeficientes son todos iguales a cero.

Para realizar la suma de varios polinomios, es práctico ordenarlos todos de forma creciente o decreciente, completando con ceros aquellos términos de los grados que no aparezcan y colocarlos uno encima de otro, de forma que podamos sumar por columnas los monomios del mismo grado.

Ejemplo:

Vamos a sumar los tres polinomios siguientes:

P (x) = 4 – 2 x² + 3 x⁴

Q (x) = 3 x + x³ – x⁴

R (x) = 5 x⁴ – 3 x³ + 6 x – 6

Ordenamos en orden creciente de su grado los polinomios y completamos aquellos términos cuyo grado no aparece en cada uno de los polinomios:

P (x) = 4 + 0 x – 2 x² + 0 x³ + 3 x⁴

Q (x) = 0 + 3 x + 0 x² + x³ – x⁴

R (x) = - 6 + 6 x + 0 x² – 3 x³ + 5 x⁴

Colocamos uno encima de otro y sumamos por columnas:

Así, P (x) + Q (x) + R (x) = -   2 + 9 x – 2 x² – 2 x³ + 7 x^4.

Valor numérico de un polinomio.

Dado un polinomio P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se llama valor numérico del polinomio en x = a, al valor que resulta al sustituir la variable x por a y operar.

Es decir, es el valor P (a) = a₀ + a₁· a + a₂ · a² + … + a_n · aⁿ.

Ejemplos:

a) Dado P (x) = 3 – 5 x + 4 x² – x³, calculemos el valor numérico en x = 2 del polinomio.

P (2) = 3 – 5·2 + 4·2² – 2³ = 3 – 10 + 16 – 8 = 1

b) Si P (x) = - 8 – 3 x + 5 x³ – x⁴, calculemos su valor numérico en x = - 1.

P (- 1) = - 8 – 3·(- 1) + 5 ·(- 1)³ – (- 1)⁴ =

= - 8 + 3 – 5 – 1 = - 11

Propiedad:

El valor numérico en x = 1 de un polinomio cualquiera coincide con la suma de sus coeficientes.

En efecto, si P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, su valor numérico en x = 1 es:

P (1) = a₀ + a₁ ·1 + a₂ ·1² + … + a_n ·1ⁿ = a₀ + a₁ + a₂ + … + a_n

Definición y clasificación de polinomios.

Se llama monomio en una variable a una expresión algebraica de la forma a xⁿ, donde a es un número real y n es un número natural, llamado grado del monomio.

Se llama polinomio en una variable a una expresión de la forma siguiente:

En esta expresión se cumple:

- a₀, a₁, a₂, a₃, … , a_n, son números reales, llamados coeficientes, y a₀ recibe el nombre de término independiente.

- x es la variable del polinomio.

- n es un número natural, llamado grado del polinomio.

- Cada uno de los sumandos que forman el polinomio es un monomio.

Ejemplos:

a) P (x) = 7 + 6 x + 5 x² es un polinomio de grado dos, cuyo término independiente es 7, y está formado por tres monomios (7, 6 x, 5 x²).

b) P (x) = - 4 + 5 x² – 8 x⁴ es un polinomio de grado cuatro, cuyo término independiente es - 4, y está formado por tres monomios (- 4, 5 x², - 8 x⁴).

El polinomio está ordenado cuando sus monomios están colocados de mayor a menor grado o viceversa.

Ejemplos:

a) P (x) = 2 + 4 x + 5 x² está ordenado en orden creciente.

b) P (x) = 7 x⁵ – 6 x³ + 5 x² + x – 6 está ordenado en orden decreciente.

c) P (x) = 2 x + 7 – 8 x³ + 9 x² no está ordenado.

Clasificación.

Atendiendo al número de monomios que componen el polinomio, se distinguen los tipos siguientes:

- Monomio: formado por uno solo.

- Binomio: está formado por dos monomios.

- Trinomio: está formado por tres monomios.

- Cuatrinomio: está formado por cuatro monomios.

De aquí en adelante, se nombran como polinomio de cinco términos, polinomio de seis términos y así, sucesivamente.

Atendiendo a su grado, se distinguen:

-Polinomio de primer grado (grado 1).

-Polinomio de segundo grado (grado 2).

-Polinomio de tercer grado (grado 3).

Y así, sucesivamente.

Teniendo en cuenta la propiedad conmutativa de la suma, dos polinomios son iguales cuando están formados exactamente por los mismos monomios, aunque no estén colocados en el mismo orden.

Ejemplo:

Son iguales los polinomios siguientes:

 P (x) = 4 + 6 x² – 7 x³ + x⁵   y   Q (x) = – 7 x³ + x⁵ + 6 x² + 4