Paralela por un punto

Halla la ecuación de la recta r que pasa por el punto P (5, – 6) y es paralela a la recta s de ecuación y = - 2 x + 7.

Solución:

Por ser paralelas, ambas rectas han de tener la misma pendiente.

Por tanto, sabemos que la ecuación de r puede escribirse de la forma y = - 2 x + b para algún valor real de b.

Como r pasa por el punto P, dicho punto debe verificar su ecuación.

Sustituyendo las coordenadas de P en dicha ecuación, obtenemos que  – 6 = - 2·5 + b, lo que es equivalente a decir que – 6 = - 10 + b, de donde despejamos b = 4.

Así, la ecuación de la recta r es y = - 2 x + 4.

Otra forma de resolver el problema es con la utilización de la ecuación punto-pendiente.

Como la pendiente ha de ser m = - 2, y la recta r debe pasar por el punto P (5, - 6), aplicando dicha ecuación, obtenemos que r se puede expresar de la forma siguiente:

y – (- 6) = -2·(x -5)

y + 6 = - 2 x + 10

y = - 2 x + 4     o     y + 2x = 4

¿Una o dos rectas?

En una recta r, la pendiente y la ordenada en el origen son enteros consecutivos. Si s es una recta paralela a r, y sabemos que pasa por los puntos P(1,7) y Q(2,12), determina la ecuación de r.

Solución:

Como pasa por P y Q, sabemos que la pendiente de la recta s es:

Como r es paralela a s, su pendiente es la misma. Pero, al ser consecutivas la pendiente y la ordenada en el origen, existen dos formas posibles de su ecuación. Estas formas son:

y = mx + (m+1)

y = mx + (m-1)

En el primer caso, m = 5 y m + 1 = 6 pero, en el segundo caso, se tiene que m = 5 y m – 1 = 4.

Luego la recta r puede tener como ecuación:

 y = 5x + 6  o  y = 5x + 4

Paralelas dos a dos

De dos rectas r y s sabemos que son paralelas, que r pasa por el punto P(1,5) y que s pasa por el punto Q(3,4).

Si además la distancia entre los puntos en los que las rectas cortan al eje de ordenadas es cuatro unidades de longitud, ¿cuáles son las ecuaciones de r y s?

Solución:

Al ser paralelas, ambas tienen la misma pendiente y podemos escribir sus ecuaciones de la forma siguiente:

r: y = m x + n

 s: y = m x + n´

Como P pertenece a la recta r, se cumple que 5 = m + n.

Como Q pertenece a la recta s, se cumple que 4 = 3 m + n´.

Sabemos, además, que la distancia entre R(0,n) y T(0,n´)es 4, lo que significa que n – n´= 4 o que n´- n = 4.

- En el primer caso, n = 4 + n´, y así tenemos el sistema siguiente:

Resolviendo este sistema, obtenemos que m = 3/2, n´= - 1/2 y, en consecuencia, n = 7/2.

Las ecuaciones de las rectas en este caso son:

- En el segundo caso, n´= n + 4, y así tenemos el sistema siguiente:

Resolviendo este sistema, obtenemos que m = - 5/2, n = 15/2 y, en consecuencia, n´= 23/2.

Las ecuaciones de las rectas en este caso son:

Rectas paralelas

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P (- 1, 4) y es paralela a la recta de ecuación y = 5x – 8.

Solución:

Como es paralela a la recta dada, su pendiente debe ser la misma que la de dicha recta. Por tanto, su pendiente es m = 5.

También conocemos un punto de la recta y, por ello, tenemos que su ecuación punto-pendiente es:

Es fácil ver que su ecuación explícita es y = 5 x + 9  y  la general es 5x – y = - 9.