Problema 159

Encuentra dos números naturales menores que 30 y tales que la diferencia de sus cuadrados sea 91.

Solución:

Suponemos que x e y son dichos números, y que x es mayor que y. Según el enunciado, ha de cumplirse que:

x² – y² = 91

(x + y)·(x – y) = 91

Las únicas formas de descomponer 91 como producto de dos números naturales son:

91 = 1·91  y 91 = 7·13

-En el primero de estos dos casos, se cumple:

x + y = 91

x – y = 1

Pero, entonces, x = 1 + y, de donde 1 + y + y = 91 y, por tanto, se tiene que y = 45. Lo que no es compatible con el enunciado del problema por ser mayor que 30.

-En el segundo de estos dos casos, se cumple:

x + y = 13

x – y = 7

Aquí se tiene que x = 7 + y. Sustituyendo en la primera igualdad, resulta que:

7 + y + y = 13

2 y = 6

y = 3

Y, entonces, x = 7 + y = 7 + 3 = 10.

Por tanto, ambos números son 10 y 3.

Inducción

Estrategia de inducción matemática                            

Es uno de los métodos más habitualmente utilizados para resolver situaciones relacionadas con los números naturales, y consiste en lo siguiente.

Si se desea demostrar una propiedad P que esté asociada a los números naturales, hay que probar:

a) El número 1 (o quizás otro) cumple dicha propiedad.

b) Si un número natural k cumple la propiedad P, también la cumple el número k+1.

Vamos a utilizar este método para resolver el problema siguiente:

¿Cuánto vale la suma de los n primeros números naturales?

Estudiaremos primero los casos para valores pequeños de n, llamando S_n a la suma que queremos encontrar.

-      n = 2, S₂ = 1 + 2 = 3

-      n = 3, S₃ = 1 + 2 + 3 = 6

-      n = 4, S₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

-      n = 5, S₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

-      n = 6, S₆ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Si seguimos con algunos casos más, podemos darnos cuenta de que la suma del primer sumando con el último, es la misma que la del segundo con el penúltimo, y que la del tercero con el antepenúltimo, y así sucesivamente.

Por ejemplo: en S₆, 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4.

Así pues, en las sumas con un número par de sumandos bastaría con multiplicar la suma del primer y del último término por el número de parejas que se pueden formar.

Es decir:     

               

¿Pero será cierto para cualquier n, aunque no sea par?

Utilicemos el método de inducción:

a)Si n = 1: 

Si n = 2: 

b) Supongamos ahora, que esta fórmula es cierta para un número natural k.

Es decir, partimos de que es cierto que si k es un número natural se cumple que:

Debemos probar entonces, que también es cierto para el número k + 1.

Está claro que   S_k+1 = S_k + k + 1, y como conocemos el valor de S_k vamos a sustituirlo en esta expresión:

Factorizamos el polinomio  k² +3 k +2, igualándolo a cero y resolviendo la ecuación que se obtiene:

Luego:

k² + 3 k +2 = (k + 1) (k + 2)

Si tenemos en cuenta esta factorización, la expresión de S_k+1 quedaría de la forma:

Así pues, la fórmula en cuestión es también cierta para k + 1.

Queda demostrado por tanto, que la suma de los n primeros números naturales es:

Problema 81

Para cierto número natural  x, se cumple que x³ y x⁴ contienen, entre los dos, todos los dígitos desde el 0 hasta el 9. Además, ninguno de los dígitos está repetido.

¿Cuál es el número x?

Solución:

Partimos del hecho de que el número de cifras entre x³ y x⁴ ha de ser diez.

Probando con números diferentes (utilizando la estrategia de ensayo y error), comprobamos que 17³  tiene cuatro cifras y 17⁴ cinco cifras; sin embargo, 18³ tiene cuatro cifras y 18⁴ tiene seis. Por tanto, x debe ser mayor o igual que 18.

De la misma forma, 22³ tiene cinco cifras y 22⁴ tiene seis; sin embargo, 21³ tiene cuatro y 21⁴ seis cifras. Por tanto, x debe ser menor o igual que 21.

De esta forma, el número x solo puede ser 18, 19, 20 o 21.

Estudiamos las cuatros posibilidades:

-Si x = 18, x³ = 5832 y x⁴ = 104976.

-Si x = 19, x³ = 6859 y x⁴ = 130321, donde se repiten el 3 y el 1, y no aparecen el 4 ni el 7.

-Si x = 20, x³ = 8000 y x⁴ = 160000, donde se repite el 0 y no aparecen los dígitos 2, 3, 4, 5, 7 y 9.

-Si x = 21, x³ = 9261 y x⁴ = 194481, donde se repiten el 1, el 4 y el 9, y no aparecen 0, 3, 5 ni 7.

Así, la única opción es que x = 18.

Problema 72

Los números 3 y 5 forman parte de un conjunto A formado por 20 números naturales, tal que la media de los 20 números es 22.

Si quitamos el 3 y el 5 de dicho conjunto, calcula la media de los números que quedan en A, utilizando ecuaciones.

Solución:

Si queremos resolverlo utilizando ecuaciones, llamamos x a la suma de todos los números de A, excepto 3 y 5. Como la media total es 22, podemos escribir la siguiente ecuación:

Como la suma de todos los números, excepto 3 y 5, es 432 y son 18 los números que quedan en A, la media buscada es 432/18 = 24.