Área de un hexágono

David y Adrián encuentran en un libro de geometría el siguiente hexágono, en el que se indica que cada uno de los cuadraditos de la cuadrícula de fondo tiene una superficie de 1 cm².

Observando el dibujo, David afirma que la superficie del hexágono es  80 cm². Sin embargo, Adrián dice no estar de acuerdo con él y le hace el siguiente razonamiento:

Como puedes observar, el lado AF mide 6 centímetros y, por tanto, el perímetro es 36 centímetros. Además la apotema, OP, mide 5 centímetros. Así pues, utilizando la fórmula para el área, se calcula que la superficie del hexágono es:

David, aunque sigue convencido de que la superficie del hexágono es de 80 centímetros cuadrados, piensa que el razonamiento hecho por su amigo parece lógico. Pero entonces se pregunta el porqué de esa diferencia de superficie.

¿Quién de los dos está en lo cierto?

¿En qué falla el razonamiento del que se ha equivocado al dar la solución?

Solución:

David es el que tiene razón, ya que por simetrías se deduce en el dibujo que la superficie del hexágono es la misma que la de un rectángulo de base 8 centímetros y de  altura 10 centímetros.

En efecto, se ve claro que si se corta el hexágono por la vertical que pasa por F y D, y por la horizontal que pasa por B y E obtenemos, en la parte derecha de la figura, dos triángulos rectángulos cuyas hipotenusas son los segmentos DE y EF. Si nos llevamos estos triángulos a la izquierda de la figura de forma que coincidan DE con BA y EF con CB, tenemos el mencionado rectángulo.

El hecho de que la apotema, OP, y el segmento OB tengan la misma longitud hace que el hexágono no sea regular. Y en este hecho es en el que estriba el fallo del razonamiento de Adrián, pues la expresión que utiliza en el cálculo de la superficie es válida sólo para polígonos regulares.