Progresión de cuadrados inscritos.

En un cuadrado (1) de lado a cualquiera, formamos otro cuadrado (2) uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado inicial. Repetimos el proceso en el nuevo cuadrado obteniendo el cuadrado 3 y, así sucesivamente. El resultado se ve en la figura siguiente:

Demuestra que, si llamamos S1 a la superficie del cuadrado 1, S2 a la del cuadrado 2, y así sucesivamente, la sucesión S1, S2, S3,… es una progresión geométrica.

Solución:

Si consideramos solamente los cuadrados 1 y 2, tenemos la figura siguiente:

El área del cuadrado 1 es S1 = a².

Además, la diagonal del cuadrado 2 mide lo mismo que el lado del cuadrado 1, por lo que, si llamamos x al lado del cuadrado 2 y aplicamos el teorema de Pitágoras, se cumple que:

Pero x² es precisamente S2 y, de esta forma, ya hemos demostrado que S2 = (1/2)·S1.

El proceso sería análogo si se repitiera con el cuadrado 2 y el 3, con el 3 y el 4, y así sucesivamente. Luego, se cumple que:

Sn = (1/2)·S_n-1

De esta forma, se ha probado que S1, S2, S3,… Sn, es una progresión geométrica de razón 1/2.