Triángulos con papiroflexia

La papiroflexia es una actividad interesante, cuyos aspectos geométricos suelen ser olvidados, y que sin embargo, permite obtener demostraciones muy claras de muchas propiedades, facilitando de esta forma la comprensión de las simetrías, la consecución de algunos puntos notables y la obtención de propiedades geométricas. Aquí un ejemplo en el que encontraremos, utilizando la papiroflexia, un punto notable en un triángulo y una propiedad fundamental.

1. Sea un triángulo ABC, y se dobla por el vértice C, de modo que B quede sobre el lado AB, obteniéndose así la altura CN. Plegamos cada ángulo del triángulo de modo que los vértices A, B, C se junten en el punto N. Viendo esto, ¿cuánto vale la suma de los ángulos interiores del triángulo?

2. Recorta un triángulo de papel. Pliégalo por las bisectrices de los ángulos (haz coincidir los lados al plegarlo por cada vértice).

 Traza los pliegues con un lápiz. Observa que se cortan en un punto.

  ¿Cumple ese punto alguna propiedad respecto de su distancia a los lados del triángulo? Investiga el nombre del punto encontrado.

Solución:

1. La suma de los ángulos interiores del triángulo vale 180º, ya que al juntar los tres vértices en el punto N, como se indica en el siguiente dibujo, los tres forman un ángulo llano.

2. El punto conseguido es el incentro, y la propiedad que tiene es que su distancia a los tres lados es la misma.