Problema 103

Sabiendo que el radio del semicírculo mayor mide 12 cm, halla el radio del círculo menor. 

Solución:

Consideramos el centro del círculo menor, O, y los centros de los semicírculos pequeños, M y N, y los unimos, obteniendo un triángulo isósceles, tal y como se muestra en la figura siguiente:

La base de dicho triángulo coincide con el diámetro de los semicírculos pequeños, es decir, mide 12 cm.

Si llamamos r al radio del círculo menor, la altura de dicho triángulo es 12 – r, pues el radio del semicírculo mayor mide 12 cm. Y cada uno de los lados iguales del triángulo mide r + 6, ya que el radio de los semicírculos pequeños mide 6 cm.

Utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

(12 – r)² + 6² = (r + 6)²

144 + r² – 24 r + 36 = r² + 36 + 12 r

144 = 36 r

r = 144 / 36 = 4

Así, el radio del círculo menor mide 4 cm.