En un triángulo isósceles de 18 cm de perímetro,
¿cuál debe ser la altura para que su superficie sea máxima?
En ese caso, ¿cuánto medirían los lados del triángulo?
Solución:
Consideramos
el triángulo con la notación indicada en la figura.
Como
el perímetro es 18 cm, sabemos que 2x + 2y = 18, lo que equivale a que x+y =
9. Luego y = 9 – x.
La
función que queremos optimizar es su superficie, es decir, la función S =
2x·h/2 = x·h
Para
dejar S en función de una sola variable, intentamos expresar x en función de la
altura, para lo que utilizamos el teorema de Pitágoras:
x2 + h2 = y2;
x2 + h2 = (9-x)2; x2 +
h2 = 81 + x2 – 18x;
h2 – 81 = -18x; x= (81 – h2)/18
Así,
ya podemos escribir la función de la forma siguiente:
Calculamos su derivada
e igualamos a cero:
Así,
la superficie del triángulo es máxima cuando su altura es:
En
este caso, los lados del triángulo miden:
Luego, se observa que se trata de un triángulo
equilátero, cuyos lados miden 6 cm.
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