Problema 68

Sabiendo que el perímetro del hexágono es 60 cm, calcula el área de la región coloreada de negro.

Solución:

Como el hexágono es regular, cada uno de sus lados mide 10 cm y, además, se descompone en seis triángulos equiláteros de lado 10cm, como se ve en la figura siguiente.

Cada uno de los semicírculos de la figura mide 10 cm de diámetro, por lo que el área de los seis equivale a la de tres círculos de radio 5 cm.

Hallando la longitud de la apotema del hexágono tendremos la longitud del radio del círculo exterior, coloreado de negro, pues será dicha apotema más el radio de un semicírculo. Y dicha apotema coincide con la altura de cada uno de los triángulos.

Aplicando el teorema de Pitágoras, se deduce que dicha altura es:

Ahora podemos calcular todas las superficies que nos interesan:

El área de la región coloreada de negro será: