Problema 113

En el último día de una vuelta ciclista, la etapa es decisiva. El último tramo de la etapa, que es una subida de 12 kilómetros, favorece al segundo clasificado. Sin embargo, el tramo anterior a esa subida es un trayecto llano que favorece al líder de la clasificación general.

En el transcurso de la etapa, y cuando sólo quedan 72 kilómetros para su finalización, un pinchazo que sufre el líder le hace perder 10 minutos y provoca la situación en carrera que se muestra en el gráfico.

El segundo clasificado se encuentra en el punto B, mientras que el líder está en el punto A, pero al ser este último mejor rodador en llano, cada cinco minutos recorre 5 km por cada 4 km que recorre el segundo clasificado.

Sin embargo, en la subida, el segundo clasificado es mejor que el líder de forma que mientras que el líder sube 2 kilómetros en cinco minutos, él sube tres.

1)Con estos datos, ¿qué corredor llega primero al punto C y que distancia tiene de ventaja al llegar a dicho punto?

2)Cuando el corredor que llega en segundo lugar al punto C está en dicho punto, ¿qué ventaja en kilómetros ha conseguido el otro corredor?

3)¿Cuánto tiempo tardan ambos corredores en realizar el recorrido del punto C a la meta?

4)Si el tiempo en que el líder aventajaba al segundo clasificado era de 1 minuto y 30 segundos, ¿seguirá el mismo líder tras la celebración de esta etapa, o habrá cambio en la clasificación general?

Solución:

1)Al estar en llano, en los diez minutos de retraso provocados por el pinchazo el segundo clasificado saca 8 km de ventaja al líder, ya que cada 5 minutos recorre 4 km.

Ya que líder va más rápido en llano, suponemos que alcanza al segundo en el punto P y  llamamos x a la distancia entre los puntos B y P.

El tiempo t en que el líder recorre 8 + x km es el mismo en el que el segundo clasificado recorre x km.

La velocidad del líder es 5/5 = 1 km/h, mientras que la del segundo clasificado es 4/5 = 0,8 km/h.

Por tanto, utilizando los espacios recorridos por ambos, obtenemos el siguiente sistema:

8 + x = 1·t

x = 0,8·t

Al resolverlo, deducimos que t = 40 minutos, lo que indica que el líder alcanza al segundo clasificado a 40 km del punto A.

Faltarían así 20 km hasta el punto C, que el líder recorre en 20 minutos mientras que el segundo necesita 20:0,8 = 25 minutos.

Como cada cinco minutos el líder saca en llano una ventaja de un kilómetro al segundo clasificado, el líder es el primero en llegar al punto C con una ventaja de 4 kilómetros sobre el segundo.

2)Como cuando el segundo llega al punto C han transcurrido cinco minutos, el líder le lleva una ventaja de 2 kilómetros por tratarse de una subida.

3)El líder tarda 30 minutos del punto C a la meta (pues sube 2 km cada 5 minutos), mientras que su perseguidor tarda 20 minutos (al subir 3 km cada 5 minutos).

4)Como en el punto C el líder le sacaba una ventaja de cinco minutos, pero en la subida el segundo tarda 10 minutos menos en subir, se tiene que el segundo clasificado llega cinco minutos antes a la meta. Como la ventaja de 1 minuto y 30 segundos es inferior, se produce el cambio en la clasificación general.