viernes, 24 de abril de 2015

Problema 76

Si en la siguiente figura el área de la zona coloreada de rosa es 144π cm2, calcula el perímetro de la zona coloreada de verde.



Solución:


Si trazamos el diámetro del círculo, se obtiene la figura siguiente, en la que se observa que dicho diámetro queda dividido en cuatro partes iguales y a cada una de ellas la llamamos a.



Ya que, en el cuadrante superior izquierdo, la zona verde tiene la misma superficie que la zona rosa del cuadrante inferior izquierdo, y que, en el cuadrante inferior derecho, la zona azul tiene la misma que la zona rosa del cuadrante superior derecho, se deduce que el área de la zona coloreada de rosa es igual a la de un círculo completo de radio a. Por tanto, 144π = π·a2 y, de esta igualdad se despeja a = 12 cm.

El perímetro de la zona verde es igual a:

P = perímetro de semicírculo de diámetro 4a + 2· perímetro de semicírculo de diámetro a + perímetro de semicírculo de diámetro 2a

Luego:   
P =(1/2)·π·4a + 2·(1/2)·π·a + (1/2)· π·2a =
= 2aπ + aπ + aπ = 4aπ = 4·12·π = 48π cm

Se observa que coincide con el perímetro del círculo de la figura (de diámetro 4a = 48 cm).

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