En un triángulo´equilátero, dividimos
cada lado en tres partes iguales, de tal forma que en la parte central de cada
lado construimos un triángulo equilátero cuyos lados tendrán la misma longitud
que la parte sobre la que hemos construido el nuevo triángulo. Este proceso lo
puedes ver en el dibujo siguiente.
a)Si el triángulo equilátero
del que partimos tenía de perímetro 81, ¿cuál es el perímetro de la figura que
hemos obtenido, y qué relación guarda con el perímetro del triángulo original?
b)Si ahora repetimos en la
figura que hemos obtenido el proceso seguido con el triángulo original,
obtenemos la figura que se muestra en el dibujo siguiente.
¿Podrías decir cuál es el
perímetro de la nueva figura y qué relación tiene con la figura de la que la
hemos obtenido?, ¿qué relación tiene el perímetro de esta figura con el del
triángulo inicial?
c)Repite el proceso seguido anteriormente
en esta última y consigue la figura siguiente, ¿qué perímetro tendrá la figura
que has conseguido?, ¿qué relación guarda con el perímetro del triángulo
inicial?
d)Si el triángulo original del
que partimos tiene de perímetro P, ¿cuál será el perímetro de la figura que
conseguimos al repetir el proceso ocho veces?¿ y si repetimos el proceso n
veces?
Solución:
a)El perímetro de la nueva
figura es 108, ya que cada lado mide 9 centímetros. La relación que guarda con
el perímetro del triángulo original es: 108 = (4/3) · 81
b)El perímetro de la segunda
figura es 144, ya que tiene 48 lados de 3 centímetros de longitud. Este perímetro
es 144 = (4/3)2 · 81
c)El perímetro de la figura
construida, siguiendo este proceso, será de 192 centímetros, ya que tiene 192
lados de 1 centímetro de longitud.
La relación que existe entre
este último perímetro y el del triángulo inicial es: 192 = (4/3)3 · 81
d)Partiendo de un triángulo
de perímetro P, si repetimos este proceso ocho veces, su perímetro verifica: P8
= (4/3)8 · P
Si repetimos el proceso n
veces, a partir de un triángulo de perímetro P, tenemos que su perímetro es: Pn = (4/3)n · P
Muy buen ejercicio, como todos los que se proponen en este magnífico blog.
ResponderEliminarPermíteme Felicidad, ya que la construcción que se trabaja en este problema es el copo de nieve de Koch o estrella de Koch, que lo complemente con esta entrada que en su día escribí en mi blog y en la que se habla de dicha curva fractal y de otras construcciones interesantes. Creo que es bastante interesante. Aquí dejo el enlace:
http://matematicascercanas.com/2014/09/21/finitos-infinitos-o-nulos-por-que-no/
Un saludo.