Si el diámetro de cada uno de
los tres círculos mide 10 cm y, sabiendo que son tangentes dos a dos, encuentra la superficie de la región
encerrada por ellos, que aparece coloreada de negro en la figura.
Solución:
Si unimos mediante segmentos los centros de
los círculos, obtenemos la figura siguiente:
En ella observamos
que el triángulo que aparece es equilátero y cada uno de sus lados mide 10 cm,
al coincidir con el doble del radio de cada círculo.
Calculamos el área
de dicho triángulo, utilizando previamente el teorema de Pitágoras para
calcular su altura:
Así, el área del
triángulo es:
Por otro lado, el
triángulo, al ser equilátero, determina en cada círculo un sector circular de 60º
de amplitud. El área de cada uno de estos sectores es:
El área de la región
buscada coincide con la del triángulo menos la de los tres sectores circulares
iguales. Por tanto:
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