Integral definida 5

Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones f (x) = - x² + 4 y g (x) = 2·f(x).

Solución:

Buscamos los valores de x en los que se cortan dichas gráficas, para lo que igualamos sus expresiones:

f (x) = g (x); - x² + 4 = 2· (- x² + 4); x² =  4; x = 2 y x = - 2

Así, ambas funciones, cuyas gráficas son sendas parábolas, se cortan sólo en los puntos cuyas abscisas son los valores de x obtenidos. 

Por tanto, x = 2 y x = -2 son los límites de integración.

Para cualquier valor de x perteneciente al intervalo (-2,2) se cumple que f(x) < g(x), por lo que el área buscada es la integral definida de g(x) – f(x) = 2·f(x) – f(x) = f(x), con los límites de integración señalados anteriormente. Es decir: