Optimización

De entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 10 cm, calcula las dimensiones del que tenga área máxima.

Solución:

Si x e y son los lados del rectángulo, como su diagonal coincide con el diámetro de la circunferencia, se obtiene la relación siguiente, aplicando el teorema de Pitágoras.

El área de un rectángulo es base x altura, por lo que la función a optimizar es:

Derivamos e igualamos a cero la primera derivada de A, y resolvemos la ecuación que se obtiene:

Como x es un lado del rectángulo, no se puede tomar el valor x=0 ni el valor negativo de la raíz. Se comprueba que la segunda derivada de A es negativa en 

  

Así, se obtiene finalmente que el área es máxima cuando se trata de un cuadrado cuyo lado es: