Optimización

Una compañía de alquiler de bicicletas ha comprobado que el número de alquileres (N) diarios depende del precio del alquiler por todo el día (p) según la expresión: N(p) = 300 -6 p.

a) Da la expresión que nos proporciona los ingresos diarios (I) de esa     compañía en función del precio del alquiler.

b) ¿Qué ingreso diario se obtiene si el precio del alquiler es 15 euros?

c) ¿Cuál es el precio del alquiler que hace máximo los ingresos diarios?

d) ¿Cuáles son esos ingresos máximos?

Solución:

a) Los ingresos diarios los obtenemos multiplicando el número de alquileres diarios por el precio del alquiler, es decir, si I(p) es la función de los ingresos:

 I(p) = (300 – 6p) · p = 300 p – 6 p²

b) I (15) = 300 · 15 – 6· 15² = 4500 – 6·225 = 3150 €

c) Para obtener el ingreso máximo estudiamos sus extremos relativos.

I´(p) = 300 – 12 p ; I´(p) = 0 ; 300 – 12 p = 0

Luego p = 25

Para ver si los ingresos son máximos estudiamos la segunda derivada:

I´´(p) = –12 ; I´´(25) = –12 < 0

Por tanto, si el precio del alquiler por un día es de 25 € los ingresos son máximos.

d) Los ingresos máximos los tenemos sustituyendo el valor obtenido en la función que nos da los ingresos.

I(25) =  300 · 25 – 6 · 25² = 7500 – 3750 = 3750 €