Optimización

Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13,5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el menor posible.

Solución:

Sean x e y la longitud del lado de la base y la altura respectivamente.

Utilizando la función volumen, despejamos la relación entre dichas variables.

De esta forma, la función que vamos a optimizar es:

Derivamos para obtener los posibles extremos relativos:

Igualamos a cero: f´(x) = 0 ⇒ en x = 3 posible máximo ó mínimo.

Sustituyendo en la segunda derivada se comprueba que hay un mínimo para  x = 3 (f´´(3)>0) y sustituyendo este valor de x en la expresión de y, obtenemos que y = 1,5.

Por tanto, para que se precise la menor cantidad de chapa, la base debe ser un cuadrado de lado 3 m y la altura 1,5 m.