Problema 115

Se dispone de un aro que mide diez centímetros de radio y, por su parte interior y sin dejar de tocar al aro en ningún momento, se hace rodar una moneda cuyo radio es de dos centímetros.

1. Tras dar la vuelta completa al aro, ¿qué superficie habrá barrido la moneda en su recorrido?

2. Si en el mismo aro repetimos el mismo experimento utilizando una moneda cuyo diámetro sea doble del de la moneda anterior, ¿cuál será la superficie barrida?

3. Generaliza lo anterior para un aro de radio R y una moneda de radio r, siendo R y r números reales tales que R > r.

4. Deduce de dicha generalización qué ocurre cuando el radio de la moneda es la mitad del radio del aro.

Solución:

1.La superficie recorrida será la de una corona circular en la que el radio mayor es R = 10 cm y el menor es r = 10 - 4 = 6 cm.

Por tanto, dicha superficie es:

2.Como la moneda tiene un diámetro doble de la anterior, este medirá 8 cm. Así, en este caso, en la corona circular obtenida el radio mayor es R = 10 cm y el menor es r = 10 - 8 = 2 cm.

Por tanto, su superficie es:

3.Para esta generalización utilizamos el dibujo siguiente, en el que R es el radio del aro y r es el radio de la moneda:

En el dibujo observamos que, en esta corona circular, el radio mayor es R y el radio menor es R – 2r, de forma que su superficie es:

4.Si r = R/2, sustituyendo en la expresión anterior se obtiene que:

Por tanto, la superficie barrida coincide con la superficie total encerrada por el aro.