domingo, 27 de septiembre de 2015

Ecuaciones bicuadradas.

Se llama ecuación bicuadrada a la que es de cuarto grado pero no tiene términos de grado impar. Por tanto, tendrá términos de grado cuatro, de grado dos y términos independientes.

Mediante las transformaciones de equivalencia, podemos expresar cualquier ecuación bicuadrada en la forma a x4 + b x2 + c = 0, siendo a distinto de cero. 

Para resolver estas ecuaciones utilizamos un cambio de variable, que consiste en hacer t = x2. Ello supone que t2 = x4, y que la ecuación bicuadrada se transforma en la ecuación de segundo grado siguiente:

 a t2 + b t + c = 0


Resolvemos esta última con la fórmula general:


Así encontramos los valores de t que son solución de la ecuación de segundo grado.

Y entonces hay que deshacer el cambio de variable para encontrar las soluciones de la ecuación bicuadrada. Teniendo en cuenta que t = x2, es fácil comprender que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Por tanto, por cada solución de la ecuación de segundo grado existirán dos soluciones de la bicuadrada (la raíz cuadrada positiva y la negativa).

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación x4 – 13 x2 + 36 = 0.

Si llamamos t = x2, la ecuación anterior se transforma en la de segundo grado siguiente, que resolvemos:

t2 – 13 t + 36 = 0


De esta forma, sus soluciones son:


Al deshacer el cambio de variable, hemos de calcular las raíces cuadradas de t1 = 9 y de t2 = 4, obteniendo que las soluciones de la ecuación bicuadrada inicial son:

x1 = 3, x2 = - 3, x3 = 2, x4 = - 2

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