Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado.

1.Resuelve la siguiente ecuación:

5·(4 x – 6) + 7 x – 7·(x + 12) = - 3 x + 1

Solución:

Utilizando la propiedad distributiva, quitamos los paréntesis:

20 x – 30 + 7 x – 7x – 84 = - 3 x + 1

Simplificamos en los dos miembros de la ecuación:

20 x – 114 = - 3 x + 1

Utilizamos, para terminar, las transformaciones de equivalencia:

20 x – 114 + 3 x = - 3 x + 1 + 3 x

23 x – 114 =  1

23 x – 114 + 114 =  1 + 114

23 x = 115

23 x·(1/23) = 115·(1/23)

x = 115/23 = 5

Así, la solución de la ecuación es x = 5.

2.Resuelve la siguiente ecuación:

12 x – 6 + 2·(3x – 7) + 6 x = 4·(- 2 x + 3)

Solución:

Utilizando la propiedad distributiva, quitamos los paréntesis:

12 x – 6 + 6 x – 14 + 6 x = - 8 x + 12

Simplificamos en los dos miembros de la ecuación:

24 x – 20 = - 8 x + 12

Utilizamos, para terminar, las transformaciones de equivalencia:

24 x – 20 + 8 x = - 8 x + 12 + 8 x

32 x – 20 =  12

32 x – 20 + 20 =  12 + 20

32 x = 32

32 x·(1/32) = 32·(1/32)

x = 32/32 = 1

Así, la solución de la ecuación es x = 1.

3.Resuelve la siguiente ecuación:

Solución:

El mínimo común múltiplo de los denominadores es 30, por lo que reducimos todos los términos de la ecuación a denominador común  igual a 30.

Multiplicando todos los términos por 30 y simplificando desaparecen los denominadores, y obtenemos la siguiente ecuación equivalente a la inicial:

30·7 x + 10·(x – 2) + 30·6 = 6·3 x – 5·13

Resolvemos esta ecuación:

210 x + 10 x – 20 + 180 = 18 x – 65

220 x + 160 = 18 x – 65

220 x + 160 – 18 x = 18 x – 65 – 18x

202 x + 160 = – 65

202 x + 160 – 160 = – 65 – 160

202 x = - 225

Así, la solución de la ecuación es: x = - 225/202

4.Resuelve la siguiente ecuación:

Solución:

El mínimo común múltiplo de los denominadores es 24, por lo que reducimos todos los términos de la ecuación a denominador común  igual a 24.

Multiplicando todos los términos por 24 y simplificando desaparecen los denominadores, y obtenemos la siguiente ecuación equivalente a la inicial:

6·7 x + 8·5 + 24·6 x = 3·5 x – 24·9

Resolvemos esta ecuación:

42 x + 40 + 144 x = 15 x – 216

186 x + 40 = 15 x – 216

186 x + 40 – 15 x = 15 x – 216 – 15x

171 x + 40 = – 216

171 x + 40 – 40 = – 216 – 40

171 x = - 256

Así, la solución de la ecuación es: x = - 256/171

5.Encuentra el valor de a para que la solución de la ecuación siguiente sea x = 2.

3·(2 x + 1) + 9 – 7·(x + a) = 4  x + 8 a

Solución:

Utilizando la propiedad distributiva, quitamos los paréntesis:

6 x + 3 + 9 – 7x – 7 a = 4 x + 8 a

Simplificamos en los dos miembros de la ecuación:

- x + 12 – 7 a = 4 x + 8 a

Utilizamos, para terminar, las transformaciones de equivalencia:

- x + 12 – 7 a - 4 x = 4 x + 8 a - 4 x

- 5 x + 12 – 7 a =  8 a

- 5 x + 12 – 7 a – 12 + 7 a =  8 a – 12 + 7 a

- 5 x = 15 a - 12

- 5 x·(-1/5) = (15 a – 12) ·(-1/5)

x = (- 15 a + 12)/5

Para que la solución sea x = 2, debe cumplirse la expresión siguiente:

2 = (- 15 a + 12)/5

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por 5, se tiene que:

10 = - 15 a + 12

Utilizando de nuevo las transformaciones de equivalencia, despejamos el valor de a:

10 + 15 a – 10 = - 15 a + 12 + 15 a – 10

15 a = 2

15 a ·1/15 = 2 ·1/15

a = 2/15

Por tanto, para que la solución de la ecuación dada sea x = 2, el valor que debe tomar a es 2/15.