División de polinomios.

División de un polinomio entre un número real.

Para dividir un polinomio P (x) entre un número real m se divide cada uno de los coeficientes de P (x) entre m.

Es decir, si P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se tiene que:

P (x): m = (a₀ /m) + (a₁ /m) x + (a₂ /m) x² + … + (a_n /m) xⁿ

Ejemplos:

a) (5 – 15 x + 25 x³ – 45 x⁵):(- 5) = - 1 + 3 x - 5 x³ + 9 x⁵

b) (3 + 12 x² + 7 x³ – 42 x⁴):3 = 1 + 4 x² + (7/3) x³ – 14 x⁴

División de dos monomios.

Para dividir entre sí dos monomios tenemos que dividir sus coeficientes y su variable, teniendo en cuenta las propiedades de las potencias. Es decir:

(a xⁿ):(b x^m) = (a/b) x^{n – m}

Ejemplos:

a) 8 x⁵ : 2 x² = (8/2) x^{5 – 2} = 4 x³

b) - 14 x⁷ : 2 x³ = (- 14/2) x^{7 – 3} = - 7 x⁴

c) 12 x⁶ : 15 x⁴ = (12/15) x^{6 – 4} = (4/5) x²

División de dos polinomios.

Para ver los sucesivos pasos que deben realizarse en la división de dos polinomios, nos apoyaremos en un ejemplo.

Vamos a dividir el polinomio 12 x⁵ + 12 x⁴ – 33 x² + 10 – 50 x entre 3 x² + 3 – 9 x.

Paso 1: ordenamos ambos polinomios de mayor a menor grado, teniendo en cuenta que, si no existe el término de algún grado intermedio en el dividendo, pondremos cero en el lugar correspondiente.

Paso 2: dividimos el monomio de mayor grado del dividendo entre el monomio de mayor grado del divisor (12 x⁵ : 3 x² = 4 x³) y colocamos el resultado en el cociente.

Paso 3: multiplicamos este monomio del cociente por cada monomio del divisor y colocamos los resultados cambiados de signo bajo cada monomio del mismo grado del dividendo y los sumamos con el dividendo.

Paso 4: Repetimos el mismo proceso (48 x⁴ : 3 x² = 16 x²), añadiendo el resultado al cociente, volviendo a multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados cambiados de signo.

Paso 5: Repetimos el mismo proceso (132 x³ : 3 x² = 44 x), añadiendo el resultado al cociente, volviendo a multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados cambiados de signo.

Paso 6: Repetimos el mismo proceso (315 x² : 3 x² = 105), añadiendo el resultado al cociente, volviendo a multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados cambiados de signo.

Aquí habríamos terminado la división, ya que el grado de 763 x es menor que el grado de 3 x².

Por tanto, la división ha resultado tener como cociente el polinomio 4 x³ + 16 x² + 44 x + 105 y como resto 763 x -305.