Ejercicios resueltos de ecuaciones bicuadradas.

1.Resuelve la ecuación siguiente:

2 x⁴ – 26 x² + 72 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 2, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x⁴ – 13 x² + 36 = 0

Al tratarse de una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x², que implica también que t² = x⁴, y así, la ecuación bicuadrada se transforma en la siguiente ecuación de segundo grado:

t² – 13 t + 36 = 0

Como se trata de una ecuación completa, utilizamos la fórmula general de resolución:

Luego las soluciones de la ecuación son t₁ = (13 + 5)/2 = 9  y   t₂ = (13 – 5)/2 = 4.

Hemos de deshacer el cambio de variable para resolver la ecuación bicuadrada, lo que supone aplicar que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Como las raíces cuadradas de 9 son 3 y – 3, y las de 4 son 2 y  – 2, concluimos que las soluciones que buscamos de la ecuación inicial son:

x₁ = 3, x₂ = - 3, x₃ = 2, x₄ = - 2

2.Resuelve la ecuación siguiente:

 3 x⁴ – 24 x² + 48 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 3, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x⁴ – 8 x² + 16 = 0

Al tratarse de una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x², que implica también que t² = x⁴, y así, la ecuación bicuadrada se transforma en la siguiente ecuación de segundo grado:

t² – 8 t + 16 = 0

Como se trata de una ecuación completa, utilizamos la fórmula general de resolución:

Así, las soluciones de la ecuación dada son t₁ = (8 + 0)/2 = 4  y  t₂ = (8 – 0)/2 = 4. Es decir, la ecuación dada tiene una única solución doble.

Hemos de deshacer el cambio de variable para resolver la ecuación bicuadrada, lo que supone aplicar que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Como las raíces cuadradas de 4 son 2 y  – 2, concluimos que las soluciones que buscamos de la ecuación inicial son:

x₁ = x₂ = 2, x₃ = x₄ = - 2

Es decir, tiene dos soluciones dobles.

3.Resuelve la ecuación siguiente:

 - 4 x⁴ - 28 x² - 40 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de - 4, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x⁴ + 7 x² + 10 = 0

Al tratarse de una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x², que implica también que t² = x⁴, y así, la ecuación bicuadrada se transforma en la siguiente ecuación de segundo grado:

t² + 7 t + 10 = 0

Como se trata de una ecuación completa, utilizamos la fórmula general de resolución:

Las soluciones de la ecuación dada son t₁ = (- 7 + 3)/2 = - 2  y   t₂ = (- 7 – 3)/2 = - 5.

Hemos de deshacer el cambio de variable para resolver la ecuación bicuadrada, lo que supone aplicar que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Como las raíces cuadradas de – 2 y de - 5 no existen en el conjunto de los números reales, concluimos que la ecuación bicuadrada no tiene solución en este conjunto de números. Es decir, es una ecuación incompatible en el conjunto de los números reales.

4.Resuelve la ecuación siguiente:

 3 x⁴ - 27 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 3, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x⁴ – 9 = 0

Al tratarse de una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x², que implica también que t² = x⁴, y así, la ecuación bicuadrada se transforma en la siguiente ecuación de segundo grado:

t² – 9 = 0

Se trata de una ecuación incompleta que no tiene término de primer grado por lo que para resolverla nos basta con despejar la incógnita:

Así, sus soluciones son t₁ = 3 y t₂ = - 3.

Hemos de deshacer el cambio de variable para resolver la ecuación bicuadrada, lo que supone aplicar que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Como las raíces cuadradas de – 3 no existen en el conjunto de los reales, resulta que la ecuación bicuadrada tiene sólo dos soluciones reales que son:

5.Resuelve la ecuación siguiente:

  7 x⁴ – 35 x² = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 7, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x⁴ – 5 x² = 0

Al tratarse de una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x², que implica también que t² = x⁴, y así, la ecuación bicuadrada se transforma en la siguiente ecuación de segundo grado:

t² – 5 t = 0

Se trata de una ecuación incompleta que no tiene término independiente por lo que para resolverla nos basta con extraer la incógnita como factor común:

t·(t – 5) = 0

Para que este producto sea nulo, o bien t = 0, o bien t – 5 = 0.

Así, las soluciones de la ecuación son t₁ = 0 y t₂ = 5.

Hemos de deshacer el cambio de variable para resolver la ecuación bicuadrada, lo que supone aplicar que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Como las raíces cuadradas de 0 son ambas iguales a cero, resulta que las soluciones de la ecuación bicuadrada inicial son: