Extremos relativos

Se sabe que la función f(x) = (x + a)(x² – 4), donde a es un número real, tiene un mínimo y un máximo relativo.

Si el máximo relativo se alcanza en x = -1/3, encuentra la abscisa del punto en el que se alcanza el mínimo relativo.

Solución:

La derivada de f(x) es:

f´(x) = (x² – 4)+(x + a)·2x = x² – 4 + 2x² + 2ax = 3x² + 2ax – 4

Como en x = - 1/3 se alcanza un máximo relativo, debe cumplirse la condición de que f´(- 1/3) = 0. Así, se tiene que:

3(-1/3)² + 2a(-1/3)- 4 = 0; 1/3 – 2a/3 – 4 = 0;

(1 – 2a)/3 = 4; 1 – 2a = 12; a = -11/2

Al ser a = -11/2, resulta que f´(x) = 3x² – 11x – 4, y esta función derivada se anula en los puntos que son solución de la siguiente ecuación:

De esta manera, los extremos relativos se alcanzan en los puntos de abscisa x₁ = 4 y x₂ = -1/3, y, como en x₂ hay un máximo, el mínimo relativo se alcanza en x = 4.