lunes, 18 de mayo de 2015

Problema 103

Sabiendo que el radio del semicírculo mayor mide 12 cm, halla el radio del círculo menor. 


Solución:

Consideramos el centro del círculo menor, O, y los centros de los semicírculos pequeños, M y N, y los unimos, obteniendo un triángulo isósceles, tal y como se muestra en la figura siguiente:


La base de dicho triángulo coincide con el diámetro de los semicírculos pequeños, es decir, mide 12 cm.

Si llamamos r al radio del círculo menor, la altura de dicho triángulo es 12 – r, pues el radio del semicírculo mayor mide 12 cm. Y cada uno de los lados iguales del triángulo mide r + 6, ya que el radio de los semicírculos pequeños mide 6 cm.

Utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

(12 – r)2 + 62 = (r + 6)2

144 + r2 – 24 r + 36 = r2 + 36 + 12 r

144 = 36 r

r = 144 / 36 = 4

Así, el radio del círculo menor mide 4 cm.

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