Si a es un
número real positivo y distinto de 1, y b es otro número real positivo, se
llama logaritmo de b en base a al número x que verifica ax = b.
Se denota de la forma x = loga b
Ejemplos:
Es evidente, por la
definición, que:
a) log2 8 = 3, ya
que 23 = 8.
b) log3 81 = 4,
ya que 34 = 81
c) Para calcular log1/2
32, utilizamos la definición anterior:
Por tanto, se deduce que log1/2
32 = - 5.
Según la definición de logaritmo,
queda claro que podemos tomar infinitas bases. Sin embargo, en la práctica se
utilizan especialmente dos de ellas: a = 10 y a = e (número e).
Estas bases dan lugar a los
logaritmos siguientes:
Se llama logaritmo decimal aquel cuya base es a =
10. El logaritmo decimal de un número b se designa por log b.
Ejemplo: log 100 = 2,
ya que 102 = 100.
Se llama logaritmo neperiano aquel cuya base es a
= e(número e). El logaritmo neperiano de un número b se designa ln b o L b.
Ejemplo: ln e2
= 2.
Como consecuencia inmediata
de la definición de logaritmo, se deducen las siguientes propiedades:
En efecto, se cumple que:
En efecto, se cumple que:
En efecto, se cumple que:
En efecto, se cumple que:
En efecto, se cumple que:
También existen otras
propiedades que relacionan los logaritmos con las operaciones aritméticas.
Estas propiedades son las siguientes:
a) Logaritmo de un producto:
Si b y c son números reales positivos, se verifica:
loga (b • c) = loga b + loga
c
Ejemplo:Sabiendo que log 3 =
0,477121… , calcula log 3000.
log 3000 = log (3 • 1000) = log 3 + log 1000 =
= log 3 + log
103 = 0,477121…+ 3 = 3,477121…
b) Logaritmo de un cociente:
Si b y c son números reales positivos, se verifica:
loga (b/c) = loga b – loga
c
Ejemplo:
Sabiendo que log 2 = 0,301030…, calcula log 50.
log 50 = log (100/2) = log
100 - log 2 =
= log 102 - log
2 = 2 - 0,301030… = 1,698970…
c) Logaritmo de una potencia:
Si b es un número real
positivo y r un número real cualquiera, se verifica:
loga br
= r · loga b
Ejemplo:
Sabiendo
que log 2 = 0,301030…, calcula log 16.
log 16 = log 24 =
4·log 2 = 4·0,301030… = 1,204120…
d) Logaritmo de una raíz.
Si b es un número real
positivo y n un número natural mayor que 1, se verifica:
Ejemplo:
Sabiendo que log 3 =
0,477121…:
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