Problema 9

Un cuadrado perfecto tiene cuatro cifras. Las dos primeras son iguales entre si. Las dos últimas son iguales entre si. ¿De qué número se trata?

Solución:

Es de la forma aabb.

aabb = a·10³ + a·10² + b·10 + b = a ·1100 + b·11 = 11· (100 a + b)

Como aabb es cuadrado perfecto y  aabb = 11· (100 a + b). debe ocurrir que el número (100 a + b) sea el producto de 11 por un cuadrado perfecto.

Pero (100 a + b) = a0b, por lo que a0b debe ser producto de 11 por un cuadrado perfecto (y debemos tener en cuenta que tiene tres cifras y la segunda es 0).

4²·11= 16·11 = 176

5²·11= 25·11 = 275

6²·11= 36·11 = 396

7²·11= 49·11 = 539

8²·11= 64·11 = 704

9²·11= 81·11 = 891

Se observa que en el único caso que se cumple es en 8²·11= 64·11 = 704

Luego a0b = 704, es decir, a = 7 y b = 4. Además, 7744 = 88².

Así, el número buscado es 7744.