En cada esquina de una cabaña cuadrada de 20
m de lado se encuentra atada una vaca, con una cuerda de 20 m que le permite
moverse para comer hierba. ¿Qué superficie de la hierba que hay alrededor de la
cabaña se podrán comer entre las cuatro vacas?
Solución:
El dibujo es el mostrado, ya que la mayor
superficie abarcada por cada vaca es la que le permite girar la cuerda describiendo
un sector circular de radio 20 m y cuyo centro de giro es la esquina en la que
está atada.
Para calcular la superficie máxima
de hierba que pueden comerse entre las cuatro (coloreada en verde),
consideramos la figura dividida en partes.
Como la longitud de la cuerda coincide con el lado
de la cabaña, los cuatro triángulos son equiláteros de lado 20 m y sus ángulos miden
todos 60o.
Así, el ángulo amplitud del sector circular marcado
en la figura, correspodiente a cada esquina, será 3600-90o-120o
= 150o.
La superficie que buscamos será la de los cuatro
triángulos equiláteros de 20 m de lado más la de los cuatro sectores circulares
de 1500 y de radio 20 m.
Utilizando el teorema de Pitágoras para determinar
la altura de cada triángulo y aplicando la fórmula del área de un triángulo, se
obtiene que la superficie de cada uno de ellos es:
También se determina el área de cada sector:
150·400π/360
m2 = 500π/3 m2
La superficie buscada es, por tanto:
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